Единственность единицы.

Бинарные операции.

Бинарной операцией F, заданной на множестве М называется бинарное отношение F, заданное на множестве , где , а .

Бинарная операция F, заданная на множестве М, может обладать свойствами:

1. Коммутативность:

2. Ассоциативность:

Если бинарная операция F, заданная на множестве М, ассоциативна, то М – полугруппа по F (или моноид по F).

Единицей полугруппы М по операции F называется элемент е такой, что.

Единица полугруппы М по операции F является нейтральным элементом полугруппы М по операции F.

Пусть в полугруппе М по операции F есть единицы и . Тогда, по определению единицы полугруппы, верно равенство . Следовательно, единица единственна.

Если для элемента полугруппы М по операции F с единицей е в полугруппе М есть элемент , такой, что , то элемент имеет обратный элемент по операции F.

Полугруппа М по операции F называется группой, если каждый элемент множества М имеет обратный по операции F.

Множество М с заданными на нем операциями и , называемыми сложением и умножением, называется кольцом, если для него выполнены следующие условия:

1. Ассоциативность сложения

2. Коммутативность сложения

3. Наличие нейтрального элемента по отношению к сложению

4. Наличие обратного элемента по отношению к сложению для каждого элемента М

5. Ассоциативность умножения

6. Дистрибутивность умножения по отношению к сложению, т.е.

Кольцо называется коммутативным кольцом, если умножение в нем коммутативно.

Если в кольце М отсутствуют делители нуля (т.е. если произведение каких-то двух элементов множества равно нулю, то хотя бы один из этих элементов равен нулю), то кольцо называется целостным кольцом.

Множество М с заданными на нем операциями и , называемыми сложением и умножением, называется полукольцом, если для него выполнены следующие условия:

1. Ассоциативность сложения

2. Коммутативность сложения

3. Наличие нейтрального элемента по отношению к сложению

4. Ассоциативность умножения

5. Дистрибутивность умножения по отношению к сложению

6. Мультипликативное свойство нуля (т.е. )

Множество А называется подкольцом М, если А является кольцом относительно операций, определенных в М.

Теломназывается ассоциативное кольцо, в котором:

1. Присутствует единица относительно умножения, не равная единице относительно сложения

2. У каждого элемента кольца кроме единицы по сложению есть обратный элемент по умножению.

Коммутативное тело называется полем.

Классом эквивалентности элементу а по отношению эквивалентности С называется подмножество , , если .