Бинарные отношения.

Декартово произведение множеств.

Кванторы.

Квантор общности (или всеобщности) – т.е. «для любого».

Квантор существования – т.е. «существует такой элемент».

Квантор+предикат =высказывание.

Связь кванторов:

,

где – предикат с переменной.

Объединение и пересечение множеств:

Операции объединения и пересечения дистрибутивны по отношению друг к другу.

Формулы дополнительности:

А и В – любые множества. Составим пару , где . Все такие пары – это и есть (декартово произведение А и В).

Говорят, что на множестве А задано бинарное отношение R, если задано подмножество . Это бинарное отношение является множеством упорядоченных пар элементов (строгое определение упорядоченных пар элементов не проливает света на эту картину, хотя интуитивно понятно, что это такое, но лучше этим понятием не злоупотреблять).

Бинарное отношение R может быть задано на двух множествах: А и В. Это эквивалентно тому, что задано подмножество .

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами. Вот некоторые из них:

1. Если R рефлексивно, то:

2. Если R антирефлексивно, то:

3. Если R симметрично, то:

4. Если R антисимметрично, то:

5. Если R транзитивно, то:

Если бинарное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.

Если бинарное отношение рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то оно называется отношением порядка (или отношением частичного порядка).

Если бинарное отношение антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то оно называется отношением строгого порядка.

Все эти отношения могут обладать и любыми другими свойствами. Например, отношение эквивалентности может быть еще и антисимметричным. Тогда оно будет одновременно являться отношением эквивалентности и отношением порядка.

Далее Давтян как-то… кратко ввел понятия «сравним» и «похож», которые я не понял.