П.3 Признаки сходимости несобственных интегралов

Теорема 1 (критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции) Если , то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена сверху, т.е.

.

Доказательство. Заметим, что если , то – возрастающая функция. Действительно, если , то . Но по критерию существования предела монотонной функции, существует тогда, и только тогда, когда ограничена сверху ■

Теорема 2 (признак сравнения) Если выполняется условие , то

а) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ; б) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Доказательство. Так как , то, в силу свойств интеграла, выполняется неравенство: .

Если интеграл сходится, то функция ограничена сверху, тогда и функция . Значит, интеграл сходится. Если же расходится, то не ограничена сверху, тогда и не ограничена сверху. В силу критерия сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции, интеграл расходится ■

Следствие Если выполняются условия , и при , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Так как при , то существует такая окрестность , что выполняется , т.е.

. Отсюда .

На отрезке интегралы и сходятся как собственные. Значит, сходимость этих интегралов на равносильна их сходимости на . Применяя признак сравнения, из последнего неравенства получим, что и требовалось доказать ■

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

.