П.2 Свойства несобственных интегралов

Будем рассматривать несобственные интегралы вида , где особая точка интеграла (т. е. или не ограничена в окрестности ). Будем предполагать, что определена на и интегрируема на отрезке .

1) Линейность.

Утверждение Если сходятся несобственные интегралы от функций и по , то при R сходится интеграл от функции на и выполняется равенство:

.

Доказательство. Для , в силу свойств интеграла Римана, выполняется равенство:

.

Перейдем к пределу в обеих частях последнего равенства при . Так как предел правой части существует по условию теоремы, то существует предел и левой части ■

2) Формула Ньютона-Лейбница.

Утверждение Если функция непрерывна на и если – первообразная для , то несобственный интеграл сходится тогда, и только тогда, когда существует и конечен , причем .

Доказательство. Так как непрерывна на любом отрезке , где , то на справедливаформула Ньютона-Лейбница:

.

Переходя в обеих частях последнего равенства к пределу при , получим, что и требовалось доказать ■

3) Интегрирование по частям.

Утверждение Пусть функции и определены на , имеют непрерывные производные на . Если существует и конечен , а интеграл сходится, то интеграл тоже сходится и справедлива формула интегрирования по частям:

.

Доказательство аналогично доказательству предыдущего утверждения.

4) Формула замены переменной.

Утверждение Если функция непрерывна на , а функция непрерывно-дифференцируема на , строго возрастает и , , то справедлива формула замены переменной:

,

при условии, что хотя бы один из интегралов сходится.