П.1 Определения несобственных интегралов

П.5 Вычисление площади поверхности вращения

П.4 Вычисление длины дуги кривой

Утверждение Если кривая Г задана уравнением

,

где непрерывно-дифференцируемые функции на , то длина кривой Г вычисляется по формуле:

.

Если кривая Г задана уравнением , то ее длина вычисляется по формуле:

.

Если кривая Г задана в полярных координатах , то длина кривой вычисляется по формуле:

.

Утверждение Если функция имеет непрерывную производную на , то площадь поверхности вращения, образованной вращением графика функции вокруг оси , вычисляется по формуле:

.

Если поверхность получена вращением вокруг оси кривой, заданной параметрически: , то

.

Если вокруг оси вращается кривая, заданная в полярных координатах уравнением , то

.

§7 Несобственные интегралы

Интеграл Римана мы определили на отрезке и для ограниченных функций. Распространим понятие интеграла на случай бесконечного промежутка интегрирования и на случай, когда подынтегральная функция не ограничена.

А) Интеграл на бесконечном промежутке.

Рассмотрим функцию . Она непрерывна на отрезке , значит, существует интеграл . Кроме того, существует . Этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке и пишут .

. Пусть функция интегрируема на отрезке . Несобственным интегралом от функции на промежутке называется величина

.

Если последний предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае интеграл называется расходящимся.

. Интеграл определяется следующим образом:

,

причем предел не должен зависеть от того, каким образом и стремятся к и соответственно.

Пример Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Если , то .

Если , то

т.е. .

Б) Интеграл на конечном промежутке от неограниченной функции.

Рассмотрим функцию . Она не ограничена на отрезке . Но при эта функция интегрируема на , причем

.

Рассмотрим . Этот предел называется несобственным интегралом от функции по отрезку .

. Пусть функция определена на конечном промежутке и интегрируема на отрезке . Несобственным интегралом от функции на промежутке называется величина

.

Если последний предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Пример Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Если , то

.

Если , то

т.е. .