П.3 Вычисление объемов тел

П.2 Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением , . Тогда плоскую фигуру , ограниченную кривой Г и отрезками лучей называют криволинейным сектором.

Утверждение Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Пусть разбиение отрезка ,

, , , , .

Обозначим и – круговые секторы, ограниченные лучами , и дугами окружностей радиусов и соответственно. Тогда .

Величины и совпадают соответственно с нижней и верхней суммами Дарбу функции . Поэтому при получим

■

а) Объем тела вращения.

Утверждение Пусть криволинейная трапеция вращается вокруг оси . Объем полученного тела вращения вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Пусть такие же, что в пункте 1. при вращении вокруг оси фигур и получаются цилиндры радиусов , и высоты . Получим

.

Величины в правой и левой частях неравенства являются соответственно с нижней и верхней суммами Дарбу функции при разбиении Т. Поэтому при они стремятся к ■

б) Объем тела с заданными площадями поперечных сечений.

Пусть тело заключено между плоскостями, перпендикулярными оси и пересекающими эту ось в точках и . Обозначим через фигуру, получаемую в сечении тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку . Пусть при известна площадь фигуры , причем функция непрерывна на .

Утверждение При указанных выше условиях объем тела вычисляется по формуле:

.

Пример Вычислить объем эллипсоида .

Решение. Проведем плоскость, перпендикулярную оси , через точку .

В сечении получим эллипс . Запишем его уравнение в стандартном виде: .

Площадь эллипса, получаемого в сечении . Тогда искомый объем

Аналогично рассуждая при получим объем шара .