П.4 Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема Если функции 
и 
имеют на отрезке 
непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
.
Для доказательства достаточно проинтегрировать на отрезке 
равенство 
и учесть, что 
.
§6 Приложения определенного интеграла
О. Криволинейной трапецией называется фигура 
, задаваемая на плоскости 
условиями: 
, где 
– непрерывная на 
функция.
Утверждение Площадь 
криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
.
Доказательство. Пусть 
разбиение отрезка ,
, 
, 
, 
, 
.
Рассмотрим фигуру 
, составленную из прямоугольников 
, у которых длина основания равна 
, а высота 
. А также рассмотрим фигуру 
, составленную из прямоугольников 
, длина основания которых равна , а высота 
, .
Очевидно, 
. Площади фигур и соответственно равны:
, 
,
где 
и 
– нижняя и верхняя суммы Дарбу функции .
Значит, 
.
Так как непрерывна на , то она интегрируема на . По критерию интегрируемости , 
при 
, т.е.
. Значит, и 
■
Рассмотрим фигуру 
, ограниченную отрезками прямых 
и графиками непрерывных функций 
и 
, где 
при 
. Если 
, то площадь фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, поэтому
.
Последняя формула остается верна и в случае, когда условие не выполняется.
Пример Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом 
.
Решение. Найдем площадь 
части эллипса, расположенной в первой координатной четверти. Из уравнения эллипса 
, 
. Тогда искомая площадь 
.
Аналогично (при 
) можно вычислить площадь круга 
.
