С переменным верхним пределом

П.1 Определение и свойства интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

П.5 Интегральная теорема о среднем

Теорема Если функции и интегрируемы на отрезке , R : , функция не меняет своего знака на отрезке , тогда .

Если, кроме того, непрерывна на , то

.

Доказательство. Будем считать, что . Согласно свойству монотонности интеграла, .

Разделим все части последнего неравенства на . Получим

.

Обозначив , получим, что и требовалось доказать ■

Следствие Если функция интегрируема на отрезке и выполняется неравенство , то . Если, кроме того, непрерывна на , то

.

§5 Интеграл с переменным верхним пределом

Если функция интегрируема на отрезке , то существует интеграл .

О. Функция называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1 Если функция интегрируема на отрезке , то интеграл с переменным верхним пределом есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Доказательство. Пусть и . Функция непрерывна в точке х, если при .

.

Так как интегрируема на , то она ограничена на , т.е.

.

Тогда .

Отсюда следует, что при , т.е. непрерывна в точке х. Т.к. х – произвольная точка из , то непрерывна на ■

Теорема 2 Если функция интегрируема на отрезке и непре-рывна в точке , то функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство. Пусть и . Докажем, что при . Воспользуемся тем, что

, .

В силу свойств интеграла,

.

Отсюда .

Так как непрерывна в точке , то

.

Возьмем , тогда .

Таким образом, .

Значит, при . А это означает, что ■

Теорема 3 (о существовании первообразной у непрерывной функции) Если функция непрерывна на отрезке , то она имеет первообразную на этом отрезке, причем первообразной для функции является интеграл с переменным верхним пределом, т.е.

.

Доказательство. Действительно, по теореме 2, . По определению первообразной, является первообразной для ■

Следствие Всякая первообразная для функции , непрерывной на отрезке , имеет вид: , .