П.4 Достаточное условие интегрируемости функции

П.3 Необходимое условие интегрируемости функции

Теорема Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда существует число I, удовлетворяющее определению интеграла. В частности, для , т.е.

.

Зафиксируем разбиение Т с мелкостью . Допустим, что не ограничена на отрезке . Тогда она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения Т. Будем для определенности считать, что не ограничена на отрезке .

Зафиксируем точки и обозначим .

Получим .

Отсюда .

Но это значит, что ограничена на . Мы пришли к противоречию с предположением. Значит, ограничена на ■

Замечание. Из ограниченности функции не следует её интегрируемость. Например, функция Дирихле ограничена, но не интегрируема на отрезке . Действительно, если взять Q, то . Если взять из R\Q, то . Т.к. предел интегральных сумм не должен зависеть от выбора отмеченных точек , то в данном случае его не существует.

Пусть функция определена на отрезке и ограничена на нем. Возьмем какое-нибудь разбиение Т отрезка точками . Обозначим

, ,

, .

Числа и называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции при заданном разбиении Т отрезка .

Очевидно, при любом выборе отмеченных точек .

Критерий интегрируемости функции Для того, чтобы функция , определенная на отрезке , была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была ограничена на этом отрезке и удовлетворяла условию:

,

т.е. при .

Существует другая формулировка критерия интегрируемости.

Теорема Ограниченная функция интегрируема на отрезке тогда, и только тогда, когда существуют и равны пределы:

и .

При этом общее значение этих пределов равно значению интеграла Римана, т.е. .