П.2 Свойства неопределенного интеграла
.
Доказательство. 
■
.
Доказательство. 
■
Свойства и показывают, что знаки интеграла и дифференциала взаимно уничтожаются.
Если функции 
и 
имеют на некотором промежутке первообразные, то для 
R функция 
также имеет первообразную на этом промежутке, причем
.
Доказательство. 
■
Таким образом, интегрирование обладает свойством линейности.
Пример 
.
1. Метод замены переменой (метод подстановки).
Пусть дана функция 
, пусть имеет первообразную, т.е. 
, и пусть дана функция 
, причем 
дифференцируема. Тогда
или 
.
Пусть . Возьмем в качестве линейную функцию 
. Тогда 
. Отсюда
.
Примеры 1) 
,
2) 
.
2. Метод интегрирования по частям.
Пусть функции 
и 
имеют непрерывные производные на некотором промежутке. Тогда функция 
также имеет непрерывную производную на этом промежутке, причем 
. Тогда 
. Отсюда 
или 
. Отсюда
.
Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.
Примеры 1) 
,
2) 
.
Аналогично вычисляются интегралы 
, где 
некоторый многочлен, 
одна из функций 
и т.п.
