П.1 Определение первообразной функции и
О. Пусть функции 
и 
определены на интервале 
. Функция называется первообразной для функции на интервале , если имеет производную на и для 
выполняется равенство: 
.
Задача нахождения функции по заданной называется задачей неопределенного интегрирования или задачей нахождения первообразной.
Понятие первообразной можно ввести и для других промежутков (
, 
, 
, R). Дадим определение первообразной на отрезке. Если функции и определены на , причем дифференцируема на , непрерывна на и для , то функцию называют первообразной для функции на отрезке .
Утверждение Если 
первообразная для функции на интервале , то функция 
при 
R, 
тоже является первообразной для функции на интервале .
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема Если 
и 
две первообразные для функции на интервале , то для выполняется равенство:
, где .
Доказательство. Обозначим 
. По определению первообразной, выполняются условия: 
, 
, . Отсюда следует, что 
дифференцируема на и для 
. Согласно следствию из теоремы Лагранжа, 
для , то есть 
■
О. Неопределенным интегралом от функции на некотором промежутке 
называется совокупность всех первообразных для функции на этом промежутке.
Обозначается символом 
и пишут 
, где одна из первообразных функции на промежутке , .
Например, 
.
Знак 
называется знаком интеграла, 
подынтегральной функцией, 
подынтегральным выражением. Его можно также записать в виде 
или 
. Т.е. 
.
