Однако рано или поздно приходится сталкиваться с ситуацией, когда приблизительность естественного языка оборачивается серьезным недостатком. Основу для его преодоления предоставляет выработка “профессионального” языка людьми, связанными общей для них, но частной для всех остальных деятельностью. Например, дифференциация наук объективно потребовала создания специализированных языков, более четких и точных, чем естественные. У северных народов имеется несколько десятков разных слов, обозначающих различные состояния снега. У африканского скотоводческого племени масаев столько различных слов, выражающих различия между коровами, что масай по одному слову может выделить одно животное из огромного стада.
Следующей ступенью “удаленности” от естественных языков являются формализованные представления объектов и понятий. Традиционно понятие формализации связывают с применением математических методов. Однако многие задачи формализации решаются посредством измерений, особым видом формализации можно считать конструкторские чертежи и сопровождающие их расчетные записки, таблицы, диаграммы, графики. Поэтому в настоящее время формализацию трактуют в широком смысле – как средство уточнения содержания явлений, проникновения в их сущность. Таким образом, формализацию можно определить как уточнение содержания анализируемого объекта с применением какой-либо знаковой конструкции, в частности – математического аппарата.
Таким образом, приходим к группе формальных представлений, частью которых являются математические модели. В результате получаем схему иерархии типов моделей, изображенную на рис. 1.1.
3.Любая модель субъективна. Иными словами, характер и качество создаваемой модели существенно зависит от того, кто является её автором. Можно выделить следующие субъективные факторы, влияющие на результат построения модели.
Избирательность. Модель строится на основании наблюдений за объектом, но человек замечает свойства объекта избирательно. На это влияют образование, мировоззрение, опыт и даже настроение и самочувствие человека. При этом он может выделять одни объекты за счёт замалчивания других.
Конструирование. Длительная эволюция воспитала в нас способность восполнять недостающую информацию, достраивать отдельные увиденные фрагменты до полного образа: если мы видим из-за дерева голову хищника, то мысленно дорисовываем остальные его части. Поэтому когда при исследовании мы получаем неполную информацию об объекте, то невольно заполняем информационные пробелы, каждый, исходя из своего опыта.
Обобщение. Пользуясь обобщением, мы создаём модели, взяв за основу один, на наш взгляд типичный случай, и обобщив его на все возможные ситуации. Обобщение является основой статистических выводов, но при условии так называемой репрезентативности (представительности) выборки ситуаций.
4.Для того, чтобы модель отвечала своему назначению, недостаточно взять готовую модель или создать новую – необходимо наличие условий, обеспечивающих ее функционирование. Отсутствие или недостаточность таких условий лишает модель ее модельных свойств. Например, бумажные денежные знаки могут играть роль модели стоимости только до тех пор, пока в среде их обращения существуют правовые нормы и финансовые учреждения, поддерживающие функционирование бумажных денег. Следовательно, для реализации своих модельных функций необходимо, чтобы модель была согласованна с культурной средой, в которой ей предстоит функционировать.
Итак, в современном представлении модель является весьма сложным, многокомпонентным понятием. Оно включает:
- субъекта, организующего моделирование, и задачу, ради которой проводится моделирование (обоих – через цель);
- объект-оригинал, который моделируется;
- средства, из которых создается модель;
- среду, в которой модель должна функционировать.
Как любое сложное понятие или явление, математические модели не могут классифицироваться однозначно, по какому-то одному признаку. В таблице 2.1 перечислены основные признаки классификации моделей и названы соответствующие их классы. Дадим краткую характеристику каждому из перечисленных классов.
Таблица 2.1
Классификация математических моделей
Классифицирующий признак
Названия классов моделей
Уровень первоначальных знаний об объекте
Декларативные, процедурные
Характер отображаемых свойств объекта
«Черный ящик», структурные, функциональные
Способ представления свойств объекта (стадии жизненного цикла модели)
Описания, решения, алгоритмические, программные
Способ получения
Теоретические, эмпирические
Тип решаемой задачи
Синтеза, анализа, выбора
Назначение
Познавательные, прагматические
Декларативныемодели (качественные, классификационные) являются отображением первичных форм знаний об объекте исследований. Начиная сравнивать и различать определенные объекты, считать одни из них одинаковыми (схожими), а другие – различными, мы тем самым вводим и осуществляем их классификацию. Познание в науке начинается с соотнесения изучаемого объекта с другими, выявления сходства и различия между ними. Именно поэтому классификация – первичная, простейшая из возможных моделей.
Декларативные модели характеризуются тем, что в них целевые признаки имеют вид наименований классов. Иными словами, результатом построения декларативной модели объекта является ответ на вопрос “как называется?”, или “на что похож?”
Предположим, что имеется некоторый набор объектов. По тем или иным признакам мы можем установить, что какие-то объекты схожи друг с другом. Из теории бинарных отношений известно, что свойство схожести формально может быть представлено отношением эквивалентности, т.е. специальным бинарным отношением, обладающим свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Также известно, что любое множество объектов, на котором определено отношение эквивалентности, можно разбить на непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности, такие, что объекты внутри каждого класса эквивалентны друг другу. Построение таких классов при заданном отношении, либо, наоборот, синтез отношения эквивалентности при известных классах составляют основное содержание задач, решаемых с помощью декларативных моделей.
Процедурныемодели (количественные, числовые) являются следствием более продвинутых знаний об объекте. Они отличаются от декларативных моделей тем, что целевые признаки в них измеряются в числовых шкалах. Как правило, процедурные модели определяют в той или иной форме зависимость между некоторыми параметрами моделируемого объекта. Приведем типичные задачи, решаемые посредством числовых моделей.
1) Косвенные измерения (оценка параметра). Имеется набор известных (измеренных) величин {xi}. Требуется определить по ним значение некоторой новой величины y, как-то связанной с исходными.
2) Восстановление зависимости. Имеется набор измеренных пар {(xi, уi)}. Требуется восстановить по этим данным зависимость, связывающую параметры х и у.
2.2. «Черный ящик», структурные и функциональные модели
“Черный ящик”.
1. Первым действием, которое необходимо выполнить при составлении модели любой системы – отделение объекта исследования от окружающей среды. Простейшим наглядным образом реализации данной операции может служить представление системы в виде непрозрачного “ящика”, выделенного из окружающей среды. Уже эта, максимально простая, модель по-своему отражает два важных свойства системы: целостность и обособленность от среды.
2. Любая система не совсем изолирована от окружающей среды, а поддерживает с ней определенные связи, посредством которых система и среда как-то воздействуют друг на друга. Поэтому следующим (вторым) этапом моделирования может быть изображение этих связей в виде стрелок, направленных из системы в среду – выходы, и из среды к системе – входы. В данной графической модели выходы ассоциируются с целью системы. В результате мы построили модель системы, которая получила название “черный ящик”. Название образно подчеркивает полное отсутствие сведений о внутреннем содержимом “ящика”.
Несмотря на внешнюю простоту, такая модель часто оказывается весьма полезной. Во многих случаях достаточно содержательного словесного описания входов и выходов; тогда модель “черного ящика” является просто их списком. Например, модель бытового телевизора такова: входы – шнур электропитания, антенна, ручки управления и настройки; выходы – экран кинескопа и звукодинамики.
При таком уровне представления системы мы имеем дело с её декларативной моделью, т.к. входы и выходы определены на шкале наименований. Во многих случаях достаточно такой модели, однако часто бывает необходимым количественно описать некоторых или всех входов и выходов системы.
3.Пытаясь максимально формализовать модель “черного ящика”, мы приходим к заданию двух множеств Х и Y входных и выходных переменных (третий этап), но никаких других отношений между этими множествами фиксировать не будем (иначе это уже будет не “черный”, а “прозрачный” ящик).
4.Четвёртым этапом развития модели системы является описание изменений, происходящих в системе, например, с течением времени, т.е. описание её динамики. На уровне «черного ящика» эта модель должна отображать соответствие во-первых, между элементами множества Х возможных значений входных параметров и элементами упорядоченного множества Т моментов времени в виде отображения Т ® Х, а во-вторых – между элементами множества Y возможных значений выходных параметров и моментами времени в виде отображения Т ® Y. Таким образом, имеем модель в виде совокупности двух процессов {x(t), y(t)}.
Согласно определению, выход является следствием входа, т.е. должна существовать некая зависимость y(t) = F(x(t)). Однако, на уровне «черного ящика» внутреннее устройство объекта, а, значит – вид оператора F неизвестны, т.е. построить более подробное описание динамики системы этим способом невозможно.
Главное достоинство модели “черный ящик” – её простота, поскольку описание и исследование входов и выходов обычно намного проще, чем внутреннего строения объекта. Однако необходимо подчеркнуть, что эта простота обманчива. Весьма часто перечисление входов и выходов реальной системы представляет собой сложную задачу. Например, пытаясь перечислить все более или менее важные входы и выходы системы “автомобиль” мы очень быстро поймем это, поскольку мощность множеств Х и Y как-то легко перевалит за два десятка, а список параметров все еще не полон. Главной причиной такой множественности входов и выходов является неограниченность числа способов, которыми любой объект взаимодействует со средой.
Модель “черного ящика” часто оказывается не только очень полезной, но в ряде случаев – единственно применимой при изучении системы. Например, при исследовании влияния лекарств на живой организм мы лишены возможности вмешательства в систему иначе, как только через ее входы, а выводы делаем только на основании наблюдений за ее выходами. Это вообще относится к таким исследованиям, в результате проведения которых нужно получить данные о системе в обычной для нее обстановке, где следует специально заботиться о том, чтобы измерения как можно меньше влияли на саму систему.
Другая причина того, что приходится ограничиваться только моделью “черного ящика”, – действительное отсутствие данных о внутреннем устройстве системы. Например, мы не знаем, как устроен электрон, но знаем, как он взаимодействует с электрическим и магнитным полем. Это и есть описание электрона на уровне модели “черного ящика”.
Структурная модель используется, когда необходимо описать сложный объект, состоящий из нескольких частей. В простейшем случае эта модель включает в себя перечень элементов, входящих в объект и тогда используется термин “модель состава” (см. рис. 2.1). Упрощенные примеры моделей состава для некоторых систем приведены в таблице 2.2.
