Однако очевидно, что есть вопросы, решить которые с помощью модели состава нельзя. Чтобы получить велосипед, недостаточно иметь ящик со всеми его деталями (элементным составом). Необходимо еще правильно соединить все детали между собой, или установить между элементами определенные связи – отношения. Такая, более сложная модель, кроме состава показывает характер связей между частями объекта. Обычно именно такая модель и называется структурной.
Таким образом, структурная модель объекта является ответом на вопрос “из чего состоит объект и как связаны эти части?”
Пример. Рассмотрим объект “часы вообще”, структурная модель которого приведена на рис 2.2. Считаем, что в его состав входят три элемента:
Рис. 2.2. Структурная модель “часов вообще”
- датчик времени (процесс, течение которого изображает ход времени – раскручивание пружины, качание маятника, течение струйки песка и т.п.);
Таблица 2.3
Отношения между парами элементов объекта “часы вообще”
Пара элементов
Характер отношения
Датчик и индикатор
Однозначное соответствие
Эталон и датчик
Приблизительное соответствие
Эталон и индикатор
Периодическое сравнение и устранение расхождения
- индикатор времени (устройство, преобразующее текущее состояние датчика в сигнал времени для пользователя – две стрелки, цифровой дисплей на жидких кристаллах, уровень песка в сосуде и пр.);
- эталон времени (механизм, определяющий истинное время – сигнал “точного времени” по радио, атомные часы службы точного времени, положение звезд на небосводе и т.д.).
Структура часов определяется некоторыми отношениями между парами элементов (таблица 2.3.). На рис. 2.3 связи, перечисленные в табл. 2.3 обозначены цифрами 1– 3. Кроме того, на нём обозначены входы: 4 – поступление энергии извне, 5 – регулировка индикатора и выход: 6 – показания часов.
Для представления структурных моделей пришлось абстрагироваться от содержательной стороны структур, оставив только общее для каждой системы. В результате получилась конструкция, в которой обозначается только наличие элементов и связей между ними. Такая схема называется графом и является наиболее наглядной и компактной формой представления структурной модели.
Граф – конструкция, включающая в себя некоторое множество V (обычно конечное) и определенное на нем отношение E (набор связей). Геометрическим образом графа является фигура, состоящая из точек (вершин), соединенных линиями (ребрами). Точки соответствуют элементам объекта, ребра – имеющимся связям. Направленные связи снабжаются стрелками и называются ориентированными ребрами или дугами.
Помимо графов используются другие изобразительные средства представления структурной модели, например, матрицы или таблицы (см. таблицы 2.2 и 2.3).
При более детальном моделировании структуры часто бывает необходимо ввести определенную дифференциацию связей между элементами объекта – отметить сильные и слабые связи, либо применить более сильную шкалу (см. табл. 2.3). В общем случае эта операция означает введение параметров (весов) на множестве ребер структурной модели.
Наконец, структурная модель может отражать динамику строения объекта, его развитие, которое обычно связано с изменением его структуры.
Функциональная модель. Следующий шаг в исследовании объектов произвольной природы после определения его состава и связей состоит в том, чтобы понять и описать, как объект “работает”, что происходит в самом объекте и окружающей его среде в ходе реализации поставленной цели. Очевидно, что и подход к описанию, и степень подробности описания происходящих процессов могут быть различными. Общим при этом является то, что разрабатываемые модели должны отражать поведение объекта при меняющихся условиях (в частности – с течением времени), описывать последовательность каких-то этапов, операций, действий, причинно-следственные отношения, т. е. описывать процесс функционирования объекта. Такая модель называется функциональной. Она имеет вид математических соотношений, отражающих те законы природы и закономерности, согласно которым функционирует объект.
1.Состояние объекта это множество его существенных свойств в данный момент времени. Функционирование системы тесным образом связано с ее состояниями. Поэтому первым этапом синтеза функциональной модели является выделение множества различных состояний моделируемого объекта, конечного или бесконечного.
2. Далее необходимо выявить связи между состояниями системы и определить степени их взаимного влияния. Кроме того, на состояния системы влияют входные воздействия. Вначале эти связи следует определить хотя бы качественно, т.е. на уровне отношений между соответствующими множествами допустимых значений.
3. В результате экспериментов или теоретических выкладок эти связи должны приобрести вид конкретных математических соотношений в виде уравнений, алгоритмов или иных зависимостей. Этот этап принято называть параметризацией.
4.В своем окончательном виде функциональная модель должна отражать динамку объекта, т.е. отражать процесс изменения состояний системы с течением времени.
Внешне функциональная модель обычно представляет собой систему математических выражений (формул), например, в виде дифференциальных и/или алгебраических уравнений. Но иногда используются модели иной структуры, например, графические – сетевые графики (для представления временной последовательности выполняемых действий), сети Петри (диаграммы причинно-следственных связей), блок-схемы (последовательность шагов реализации инструкций, алгоритма) и т.п. Выбор того или иного типа модели определяется типом протекающих процессов и целью моделирования.
Страты. При отображении сложных систем одна из основных проблем состоит в нахождении компромисса между простотой описания, позволяющей сохранять целостное представление об исследуемом объекте, и детализацией, позволяющей отразить его многочисленные особенности. Один из путей решения этой проблемы – задание системы семейством моделей, каждая из которых описывает объект с точки зрения соответствующего уровня абстрагирования. Для каждого уровня существуют характерные особенности, законы и принципы, с помощью которых описывается строение системы на этом уровне. Такое представление названо стратифицированным, а уровни абстрагирования – стратами.
Примером стратифицированного отображения является описание одного и того же завода одновременно с точки зрения главного технолога, главного бухгалтера, начальника пожарной охраны и т.д. Оно будет состоять совершенно из различных подсистем.
Страты могут выделяться разными способами. Например, при представлении системы управления предприятием они могут соответствовать сложившимся уровням управления: управление технологическими процессами и организационное управление предприятием. Начинать изучение системы можно с любой страты, в том числе – со срединной.
В процессе исследования могут добавляться новые страты, изменяться подход к их выделению, но система сохраняется до тех пор, пока не изменится представление на верхней страте – ее концепция, замысел.
Пример. Как было сказано ранее, при своем создании каждая из рассмотренных выше моделей («Черный ящик», структурная, функциональная) может пройти несколько стадий. В целях единообразия можно ввести четыре стадии, одинаковые для всех типов моделей. Условно назовем эти стадии: состав, связи, параметры, динамика. Графически эти стадии изображены на рис. 2.3. Данная схема представляет собой набор страт – как по горизонтали (разные уровни знаний об объекте), так и по вертикали (различный характер отображаемых свойств объекта).
В ходе решения поставленной задачи (реализации цели моделирования) математическая модель претерпевает определенные изменения.
Первой фазой процесса моделирования является переложение на язык математических соотношений цели моделирования, которая обычно задается в словесном (вербальном, неформализованном) виде. В результате такого действия получается модель описания.
Далее строится модель решения – набор математических выражений, указывающих способ получения решения задачи. Существует три разновидности этой модели: аналитическая, численная и имитационная.
Аналитическая модель – явное выражение искомой величины через известные. Численная модель – набор выражений, позволяющих получить решение в виде набора чисел. Имитационная модель – переложение на язык компьютера формальных правил функционирования моделируемого объекта; она позволяет при заданном входе получить значение выхода и, по сути, реализует метод проб.
Пример. Пусть имеем уравнение аx2 + bx + c = 0, которое описывает некоторый объект и, следовательно, является моделью описания. Описание способа нахождения значения х представляет собой модель решения. Для квадратного уравнения существует известная формула:
Это явное выражение для искомой величины х, следовательно, это аналитическая модель решения.
В том случае, когда аналитическая модель слишком сложная (формулы решения уравнений 3-й и 4-й степени) либо вообще не существует (для уравнений 5-й степени и выше), то используется численная модель.
Пример. Например: дано уравнение f(x) = 0, где f – произвольная непрерывная функция. Для решения можно использовать численный метод Ньютона (касательных). Для этого выбирают начальное приближение x0, а затем строят последовательность уточняющих решений по формуле:
xk + 1 = xk – (k = 0, 1…); .
Для приближённого решения уравнения f(x) =0 можно также задать достаточно много различных значений x и выбрать то из них,для которого |f(x)|=min, т.е. f(x)ближе всего к 0. Это простейший вид имитационной модели для решения уравнения. Часто в качестве значений входных параметров берутся случайные значения, полученные с помощью датчиков случайных чисел. В этом случае говорят, что используется случайная имитация.
Дадим краткую характеристику каждой модели, которая поможет выбирать ту или иную модель в каждом конкретном случае.
Аналитическая модель является наиболее точной, кроме того, она позволяет получить решение в общем виде. Поэтому если это возможно, всегда надо стараться получить именно аналитическую модель решения.
Численная модель более универсальна, практически не уступает по точности аналитической модели, но не позволяет получить решение в общем виде.
Имитационная модель наименее точна, но является самой простой. Ее используют для получения окончательного решения только при моделировании сложных объектов, для которых невозможно составить прочие модели решений. В более простых случаях имитационную модель применяют
- для поиска начального приближения к решению для получения окончательного ответа с помощью численной модели,
- либо для предварительного анализа объекта, позволяющего получить некоторое начальное представление о предмете моделирования.
Алгоритмическая модель – запись решения в виде алгоритма. Ее отличие от модели решения состоит в том, что последняя не обязана обладать всеми свойствами алгоритма: конечность, определённость, результативность, массовость, эффективность. Чаще всего модель решения не обладает свойством конечности.
Программная модель – запись алгоритма на языке программирования.
Жизненный цикл модели. Процесс возникновения, развития и конца произвольной системы принято именовать термином “жизненный цикл”. В процессе перехода от словесного описания объекта к получению результатов исследования модель объекта претерпевает определенные этапы жизненного цикла.
Жизненный цикл модели, включающий не только фазы изменения, претерпеваемые самой моделью, но и “круговорот знаний”, используемых для создания модели и полученных в результате использования модели можно представить в виде схеме, изображенной на рис. 2.4.
(k = 0, 1…); 
.