Теорема и ее структура. Виды теорем.

Отношения следования и равносильности между предложениями

Отрицание высказываний, содержащих кванторы

Правило 1. Для построения отрицаний высказываний, содержащих квантор всеобщности, нужно заменить его квантором существования, а предложение, стоящее после квантора, заменить его отрицанием.

Определение 1. Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинна.

знак логического следования

Определение 2. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х).

знак равносильности

Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).

Структура теоремы:

1. разъяснительная часть (описание множества, о котором идет речь в теореме);

2. условие теоремы (то, что дано);

3. заключение теоремы (то, что надо доказать).

Теорема может быть сформулирована в категорической форме и в условной форме.

Категорическая формулировка – лаконична. Однако, если теорема сформулирована в условной форме, то легче отделить условие от заключения.

А В

А – условие

В – заключение

Теоремы делятся на простые и сложные. Теорема называется простой, если она содержит только одно условие и только одно заключение. Теорема называется сложной, если она содержит несколько условий или несколько заключений.

А В теорема

В А обратное предложение

Предложение обратное истинному может быть как истинным, так и ложным. Обратное предложение, истинность которого доказана, называется обратной теоремой.

А В противоположное предложение

Предложение противоположное истинному может быть как истинным, так и ложным.

В А предложение, обратное противоположному.

Утверждение. (А В) (В А)

(В А) (А В)