Кванторы

Высказывательные формы

Отрицание конъюнкции и дизъюнкции

Эквиваленция

Высказывание, составленное из двух простых высказываний с помощью логической связки «тогда и только тогда, когда», называют эквиваленцией.

Эквиваленцию высказываний А и В мы будем обозначать АВ.

Определение. Эквиваленцией двух высказываний называется третье высказывание, истинное тогда, когда значения истинности исходных высказываний совпадают, и ложное, когда они различны.

Таблица истинности эквиваленции:

А	В	АВ

Правило 1. Отрицание конъюнкции высказываний А и В есть дизъюнкция отрицаний высказываний А и В.

Правило 2. Отрицание дизъюнкции высказываний А и В есть конъюнкция отрицаний высказываний А и В.

Определение 1. Высказывательная форма – это предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него конкретных значений переменных.

Определение 2. Высказывательная форма, содержащая одну переменную, называется одноместной; высказывательная форма, содержащая две переменных, - двухместной и т. д.

Определение. Множество значений переменной, при которых высказывательная форма истинна, называется множеством истинности этой формы.

Для того, чтобы превратить высказывательную форму в высказывание, достаточно вместо переменной, входящей в форму, подставить какое-нибудь ее значение. Однако существует другой способ получения высказываний из высказывательных форм – с помощью специальных слов, называемых кванторами. Например, из высказывательной формы «Человек х синеглаз» можно получить истинное высказывание «Существует синеглазый человек» и ложное высказывание «Любой человек синеглаз».

Различают кванторы всеобщности и существования.

В естественном языке квантору всеобщности соответствуют слова «любой», «всякий», «каждый», «все», а квантору существования – слова «существует», «некоторые», «найдется», «хотя бы один».

В связи с тем, что в математической логике слова для удобства заменяют знаками, то для обозначения квантора всеобщности используется символ(перевернутая буква A, первая буква английского слова All – все), а для обозначения квантора существования – символ (перевернутая буква E, первая буква английского слова Exist – существует).

Упражнение 1. Докажите, что а) высказывание «Сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3» истинно; б) высказывание «Все составные и нечетные числа делятся на 5» ложно.

Доказательство. а) Пусть n, n + 1, n + 2 – последовательные натуральные числа. Докажем, что при любом n сумма S = n + (n + 1) + (n + 2) делится на 3. Для этого раскроем скобки и приведем подобные члены: S = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3. Так как каждое слагаемое выражения 3n + 3 делится на 3, то и все выражение делится на 3. Таким образом, сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

б) Для доказательства ложности предложения «Все составные и нечетные числа делятся на 5» достаточно привести контрпример, т. е. показать, что существует составное и нечетное число, которое не делится на 5. Так, например, число 21 является составным и нечетным, но не делится на 5.

Вывод: Истинность высказываний, содержащих квантор всеобщности, устанавливается путем доказательства, а для того, чтобы убедиться в ложности таких высказываний, достаточно привести контрпример.

Упражнение 2. Докажите, что а) высказывание «Некоторые четные числа делятся на 4» истинно; б) высказывание «Существуют простые числа, которые делятся на 10» ложно.

Доказательство. а) Для того, чтобы доказать истинность высказывания «Некоторые четные числа делятся на 4», достаточно привести пример четного числа, делящегося на 4. Такое число действительно существует, например, число 16 четно и делится на 4.

б) Числа, делящиеся на 10, не относится к простым числам, так как кроме делителей 1 и 10 существует, по крайней мере, еще два делителя этих чисел, а именно 2 и 5. Таким образом, не существует простых чисел, которые делятся на 10.

Вывод: Истинность высказываний, содержащих квантор существования, устанавливается при помощи конкретного примера, а для того, чтобы убедиться в ложности таких высказываний, необходимо провести доказательство.