Системы координат

Система координат

Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических фигур (линий, поверхностей) средствами алгебры (с использованием чисел и алгебраических операций) на основе метода координат. Данный метод позволяет каждой точке на плоскости поставить в соответствие упорядоченную пару чисел, а каждой точке пространства – упорядоченную тройку чисел. Основным инструментом метода координат служит система координат.

Далее будем рассматривать только прямоугольную, или декартову, систему координат.

В школьном курсе было дано определение метода координат.

· Осью координат называется прямая линия, на которой зафиксирована точка О (называемая началом координат), выбраны положительное направление (указывается стрелкой) и единица длины.

Каждому действительному числу соответствует точка на оси координат, это число называется координатой точки на оси координат, что записывается как . И обратно: каждой точке оси координат соответствует действительное число. Это соответствие взаимно однозначное: .

(ось ординат) (ось аппликат)

О

(ось абсцисс)

(ось ординат)

(ось абсцисс)

· Прямоугольной системой координат на плоскости называется совокупность двух взаимно перпендикулярных осей координат, имеющих общее начало.

Каждой упорядоченной паре чисел соответствует единственная точка на плоскости , и обратно: .

Числа и называются координатами точки в системе координат OXY. Число называется абсциссойточки и является координатой основания перпендикуляра, опущенного из точки на горизонтальную ось (ось абсцисс). Число называется ординатойточки и является координатой основания перпендикуляра, опущенного из точки на вертикальную ось (ось ординат).

· Прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность трех взаимно перпендикулярных осей координат, имеющих общее начало.

Оси ОХ, ОУ и ОZ называются осями абсцисс, ординат и аппликат.

Каждой точке пространства соответствует упорядоченная тройка чисел , которые называются координатами точки в системе координат OXYZ. Это соответствие взаимно однозначное:

Итак, положение точки на прямой относительно оси координат определяется заданием одного числа;

положение точки на плоскости относительно введенной системы координат - двух упорядоченных чисел;

положение точки в пространстве – упорядоченной тройкой чисел (абсциссой, ординатой, аппликатой), которые называются прямоугольными (декартовыми) координатами точки.

В дальнейшем под словом «точка» часто будем понимать ее координаты.

Важной задачей является нахождение расстояния между двумя точками:

1) расстояние между точками и на прямой равно модулю разности их координат:

;

2) расстояние между двумя точками и на плоскости вычисляется по формуле

;

3) расстояние между двумя точками и в пространстве вычисляется по формуле

.