Лекция 13. Интеграл Черепанова-Райса

Важнейшее место в механике разрушения занимает независящий от контура интегрирования (инвариантный) J-интеграл.

Понятие J-интеграла было введено независимо друг от друга Г.П. Черепановым в 1967 г. и Дж. Р. Райсом в 1968 г. с целью исследования интенсивных пластических деформаций, развивающихся в окрестности вершины разреза, когда размер зоны пластического течения составляет более 20% от общей длины разреза.

· Задача о разрушении пластины с остроконечным эллиптическим разрезом в случае одноосного растяжения (решение Дж. Р. Райса, 1968 г.).

Рассматривается бесконечная пластина (рис. 13.1), выполненная из пластичного материала, находящаяся под воздействием одноосного напряжения s. В центре пластины имеется идеальный бесконечно тонкий эллиптический разрез длиной 2×l.

Предположим, что в данной пластине имеется двухмерное поле деформаций, которое может быть представлено следующей группой непрерывных функций:

, , .

Рис. 13.1. Острый разрез и охватывающий его контур С

Проанализируем, с точки зрения закона сохранения энергии, состояние области D, ограниченной контуром C, вблизи вершины разреза. Предположим, что увеличение длины разреза в сплошном деформируемом теле происходит под действием поля напряжений, представленного следующей группой непрерывных функций:

, , . (13.1)

В соответствии с теорией А. Гриффитса, поступающая через контур C механическая работа внешних сил W и тепловая энергия Q, затрачивается на увеличение кинетической K (перемещение берегов разреза), а также внутренней энергии U (накопление пластических деформаций перед вершиной разреза) пластины:

, (13.2)

Энергия разрушения F (увеличение длины разреза, вследствие исчерпания возможностей пластического деформирования области перед вершиной разреза) пластины определяется как:

. (13.3)

В условиях низкоскоростного нагружения и нормальных (комнатных) температур примем:

, . (13.4)

Таким образом:

. (13.5)

Выберем в пределах области D некоторую точку в окрестности которой выделим элементарный прямоугольник, ребра которого параллельны координатным осям X, Y, а их длины равны dx, dy соответственно. Для нелинейно-упругого изотропного тела энергия внутренних сил, действующих на прямоугольник, равна:

. (13.6)

По всей площади A области D энергия внутренних сил равна:

. (13.7)

Работа внешних сил по деформации прямоугольника равна:

. (13.8)

По всей длине S контура С работа внешних сил равна:

. (13.9)

На основании вышеизложенных зависимостей энергия, идущая на увеличение длины разреза в пределах области D равна:

. (13.10)

В результате:

. (13.11)

Изменение энергии F при бесконечно малом увеличении длины разреза в переделах области D может быть определено как:

. (13.12)

Полагая, что начало системы координат располагается в вершине распространяющегося разреза, получаем ∂x/∂l = –1 и, кроме того:

. (13.13)

Теперь изменение энергии F может быть записано в виде:

. (13.14)

Равенство работы, производимой внешними силами и энергии, потребляемой внутренними силами, при бесконечно малом удлинении разреза приводит к тождеству:

. (13.15)

В результате получим:

, (13.16)

. (13.17)

Согласно теореме Гаусса-Грина преобразуем интеграл по области D в интеграл по границе С.

. (13.18)

В результате получим:

. (13.19)

Введем обозначение:

, тогда . (13.20)

В вышеприведенной формуле интегрирование по контуру C начинается с нижней поверхности разреза, далее вдоль контура против часовой стрелки и заканчивается на верхней поверхности разреза.

Теоретически доказано, что для произвольной замкнутой кривой S* контурный J-интеграл равен нулю:

. (13.21)

Рассмотрим два контура C₁ и C₃, охватывающих вершину разреза и соединенных контурами C₂ и C₄ вдоль его берегов.

Рис. 13.2. Четыре контура интегрирования, охватывающие вершину разреза

Для образованного замкнутого контура (рис. 13.2):

. (13.22)

На берегах разреза, свободных от нагрузок p_xx = p_yy= 0, а также dy = 0. Следовательно J₃ = J₄ = 0. С учетом знака интегрирования при изменении направления вычисления интеграла J₁ = J₂.

Таким образом, все контуры, охватывающие вершину разреза, дают одинаковые значения J, а значит, контурный J-интеграл не зависит от контура интегрирования, проведенного в нелинейно-упругой напряженной пластине.

В общем случае, диаграмма деформирования материала пластины при заданном способе нагружения может описываться степенной зависимостью вида:

. (13.23)

Здесь A, B – эмпирические константы материала; s₀ – действующее напряжение; ε – действующая деформация; s₀ – напряжение, принимаемое равным пределу текучести; ε₀ – деформация, принимаемая равной пределу текучести.

На основании выражения (13.23) поля напряжений и деформаций в вершине разрезамогут быть представлены в виде асимптотических формул(решение Дж. Хатчинсона, Дж. Р. Райса, Г. Ф. Розенгрена, 1968 г.):

, (13.24)

, (13.25)

. (13.26)

Здесь I(B) – функция показателя степени B, зависящая от вида напряженного состояния; f(θ, B) – функция показателя степени B и угла θ, характеризующая распределение полей соответствующих величин в зависимости от типа разреза (тип I, II, III); r – радиус на котором находится соответствующая точка поля.

Вышеприведенные формулы (13.24)-(13.26) не учитывают эффектов, наблюдаемых при очень больших (экстремальных) пластических деформациях, в частности пластического притупления трещины. Тем не менее, в непосредственной близости от зоны экстремальных пластических деформаций J-интеграл характеризует поле напряжений и, следовательно, его критическое значение J_с(J_Iс, J_IIс, J_IIIс)может быть принято в качестве критерия, характеризующего начало разрушения.

Таким образом, условие наступления критического состояния, когда разрез начнет самопроизвольно увеличивать свою длину будет:

o – контурный J-интеграл (J_I, J_II, J_III) достигает критического значения J_с (J_Iс, J_IIс, J_IIIс).

Использование вышеприведенного критерия предполагает, что для вычисления J-интеграламогут быть использованыразличные расчетные методики, как численные, так и аналитические.

Например, для разреза длиной 2l (рис. 13.3), образованного параллельными плоскостями, гладко сопряженными с поверхностью вершины разреза, сведение пути интегрирования J-интеграла (13.20) к контуру вершины разреза (свободного от внешней нагрузки) приводит к следующему выражению:

. (13.27)

В полярных координатах с полюсом в центре вершины разреза координата y может быть представлена как:

. (13.28)

Тогда замена координаты y позволяет перейти к выражению вида:

. (13.29)

Рис. 13.3. Геометрические особенности разреза

Представим плотность энергии деформации (13.6) на контуре у вершины разреза как:

. (13.30)

В результате формула для вычисления J-интеграла (13.27) приобретает форму:

. (13.31)

Вычислим максимальную плотность энергии деформации на поверхности вершины разреза при θ = 0 для твердого тела, упрочняющегося по ранее приведенному закону (13.23):

. (13.32)

Здесь ε_max – максимальная деформация на поверхности вершины разреза.

Принимая во внимание полученные результаты, перепишем выражение для J-интеграла (13.31) в виде:

. (13.33)

. (13.34)

Здесь σ_max – максимальное напряжение на поверхности вершины разреза.

В случае, когда ρ ® 0 разрез трансформируется трещину и тогда:

. (13.35)

В случае хрупкого разрушения J-интеграл равен интенсивности освобождающейся энергии:

. (13.36)

С учетом последнего соотношения оказывается справедлива связь:

– плоское деформированное состояние, (13.37)

– плоское напряженное состояние. (13.38)

Таким образом, в случае, когда размер пластической зоны превышает 20% от длины разреза, охарактеризовать вязкое разрушение можно различными параметрами, важнейшими из которых являются: раскрытие разреза ρ и J-интеграл. Оба этих параметра связаны с критической величиной высвобождения энергии, которая наблюдается при разрушении перед наступлением общей текучести. Критерий раскрытия разреза ρ сосредоточивает внимание на вершине трещины, и его можно напрямую связать с микро механизмами разрушения. Критерий на основе J-интеграла связан с макроскопической работой или условиями деформирования некоторой области у вершины трещины, размер которой зависит от выбранного контура С.