Лекция 12. Модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, Билби-Коттрелла-Суиндена

Более точные соотношения между приложенным напряжением, длиной разреза и развитием пластического течения при плоском напряженном состоянии могут быть получены на основе решения следующих задач.

· Задача об определении размера пластической зоны у остроконечного эллиптического разреза в случае одноосного растяжения пластины при плоском напряженном состоянии (решение М.Я. Леонова, В.В. Панасюка 1959 г., Д. Дагдейла, 1960 г.).

Рассматривается бесконечная тонкая пластина (рис. 12.1), выполненная из пластичного материала, находящаяся под воздействием одноосного напряжения s. В центре пластины имеется идеальный бесконечно тонкий эллиптический разрез длиной 2×l. Под действием нагрузки у вершин разреза образуются области с интенсивной пластической деформацией размером δ.

Рис. 12.1. Представление разреза в соответствии с моделью Леонова-Панасюка-Дагдейла

Данный разрез может быть заменен фиктивным упругим разрезом, состоящим из действительного разреза и дополнительного вместо пластической зоны. При этом действительной разрез имеет свободные поверхности, а дополнительный нет, так как представляет собой область, где действуют сжимающие напряжения, равные пределу текучести σ_Y.

В вершинах пластически деформированных областей напряжение равно σ_Y, а значит, особенности напряжений отсутствуют и коэффициент интенсивности напряжений K_I равен нулю. Используя коэффициент интенсивности напряжений K_I1 для действительного разреза, обусловленный удаленным напряжением σ, и коэффициент интенсивности напряжений К_I2 для дополнительного разреза, обусловленный напряжением σ_Y, составим выражение:

. (12.1)

Для бесконечной пластины с центральным разрезом:

. (12.2)

Для нахождения К_I2 рассмотрим ситуацию, когда в точках с координатой x, на берегах разреза действуют две сосредоточенные силы Р.

Рис. 12.2. Действие сосредоточенных сил

В этом случае для точек А и В коэффициенты интенсивности напряжений могут быть представлены в виде следующих зависимостей:

, (12.3)

. (12.4)

В случае, когда на отрезке l £ | x | £ b дополнительного разреза действуют равномерно распределенные сжимающие напряжения σ_Y, а сосредоточенная сила Р = –s_Y ·dx, коэффициент интенсивности напряжений К_I2 может быть представлен в виде:

. (12.5)

После интегрирования получим:

. (12.6)

Следовательно:

. (12.7)

Полученную зависимость можно преобразовать к виду:

, , (12.8)

. (12.9)

С учетом длины пластической зоны δ соотношение l/b может быть представлено как:

, (12.10)

. (12.11)

В случае маломасштабной текучести, когда σ_Y >> σ, левая и правая части данного выражения могут быть разложены в ряды вида:

, (12.12)

. (12.13)

Приравнивая первые члены рядов и отбрасывая все остальные, ввиду их малости, получим тождество:

, (12.14)

, . (12.15)

Сопоставим данный результат с полученной ранее поправкой Ирвина:

, . (12.16)

Сравниваемые зависимости хорошо совпадают, если не принимать во внимание небольшое различие в коэффициентах.

В рамках модели Леонова-Панасюка-Дагдейла может быть рассчитано значение перемещения на концах исходного разреза с развитой пластической зоной – раскрытие разреза:

. (12.17)

В случае маломасштабной текучести σ_Y << σ:

. (12.18)

· Задача об определении размера пластической зоны у остроконечного эллиптического разреза в случае одноосного растяжения пластины при плоском напряженном состоянии (решение Б. Билби, А. Коттрелла и К. Суиндена, 1963 г.).

Рассматривается бесконечная тонкая пластина (рис. 12.3), выполненная из пластичного материала, находящаяся под воздействием одноосного напряжения s. В центре пластины имеется идеальный бесконечно тонкий эллиптический разрез длиной 2×l. Под действием нагрузки у вершин разреза образуются области с интенсивной пластической деформацией размером δ.

Рис. 12.3. Представление разреза в соответствии с моделью Билби-Коттрелла-Суиндена

Данный разрез может быть заменен некоторым фиктивным распределением параллельных и лежащих в одной плоскости дислокаций.

Введем линейную плотность дислокаций ρ(x) – число дислокаций, приходящихся на единицу длины участка (–b, b), представляющего сумму длин начального разреза (–l, l) и двух пластических зон (–b, l) и (l, b) у его вершин. Искажение кристаллической решетки вокруг каждой дислокации, определяемое вектором Бюргерса, примем равным d. Тогда смещение берегов разреза в точке с координатой х может быть представлено как:

. (12.19)

В соответствии с условиями задачи поддержание разреза в раскрытом состоянии осуществляется посредством внешнего напряжения σ. Для учета пластической зоны допустим существование постоянных сжимающих напряжений σ_Y на участках (–b, l), (l, b). Тогда внешнее напряжение, действующее на разрез можно представить как:

. (12.20)

Рис. 12.4. Имитация различных видов разрезов распределением дислокаций

Одна дислокация, расположенная в некоторой точке участка (–b, b) с координатой ξ, вызывает в другой точке участка с координатой х напряжение:

, где . (12.21)

Все дислокации, расположенные на участке (–b, b), вызывают в точке с координатой x напряжение:

. (12.22)

Условие равновесия на участке (–l ≤ x ≤ l) заключается в равенстве нулю напряжений, действующих в произвольной точке с координатой х, вследствие присутствия соседних дислокаций и внешней нагрузки:

. (12.23)

Условие равновесия на участке (–b ≤ x < -l), (l < x ≤ b) заключается в равенстве σ_Y напряжений, действующих в произвольной точке с координатой х, вследствие присутствия соседних дислокаций и внешней нагрузки:

, (12.24)

. (12.25)

При использовании сокращенной формы записи:

. (12.26)

Решение вышеприведенного уравнения имеет вид:

. (12.27)

С дополнительным условием:

. (12.28)

Вышеприведенное условие позволяет перейти к соотношению, полученному ранее в модели Леонова-Панасюка-Дагдейла:

. (12.29)

В рамках модели Билби-Коттрелла-Суиндена может быть рассчитано значение перемещения на концах исходного разреза с развитой пластической зоной – раскрытие разреза:

. (12.30)

Моделями Леонова-Панасюка-Дагдейла, а также Билби-Коттрелла-Суиндена удобно пользоваться для оценки раскрытия разреза в области полномасштабной текучести. Однако, если напряжения вдали от разреза равны пределу текучести, то пластические области могут стать бесконечно большими. При этом вышеприведенные модели теряют смысл и не могут быть использованы для расчетов. Чтобы обойти эти трудности, следует принять во внимание, что в реальных материалах происходит деформационное упрочнение и в соответствующих формулах предел текучести можно заменить пределом прочности.

Таким образом, на основании моделей Леонова-Панасюка-Дагдейла, а также Билби-Коттрелла-Суиндена может быть сформировано условие наступления критического состояния, когда разрез начнет самопроизвольно увеличивать свою длину будет:

o – раскрытие в вершине разреза ρ достигает критического значения ρ_c.

Величина ρ_c определяется экспериментально и является постоянной материала, характеризующей локальную пластичность в вершине разреза в момент его перехода к распространению.

При этом следует понимать, что значение ρ_c относится исключительно к началу движения разреза, и в отличие от параметра K_c не характеризует точку полной нестабильности разрушения. Разница между ρ_c на начальном этапе развития разреза и при наступлении полной нестабильности может быть существенной.

Тем не менее, величина ρ_c может служить критерием безопасности для низкопрочных конструкционных материалов, обладающих высокой пластичностью. Следует также отметить, что использование при проектировании величины ρ_c идет в запас прочности.