Вывод уравнений на базе регрессионного анализа.

Использование принципов регрессионного и корреляционного анализа при обработке опытных данных позволяет найти зависимости между переменными и условиями оптимума. Математическая модель является функцией отклика, связывающая параметр оптимизации характеризующие результаты эксперимента с переменными, которые экспериментатор варьирует при проведении опытов.

y=φ(x₁,x₂,…x_n)

Х – фактор

Хi – факторное пространство.

Геометрическое отображение функции отклика в факторном пространстве (у) называется поверхностью отклика. При использовании статистических методов математическая модель представляется в виде полинома (отрезка ряда Тейлора), в ко­торый разлагается неизвестная зависимость

где

В связи с тем, что в реальном процессе всегда существуют неуправляемые и неконтролируемые переменные, результат экс­перимента есть случайная величина. Поэтому при обработке экспериментальных данных получаются так называемые выборочные коэффициенты регрессии, ,, , , яв­ляющиеся оценками теоретических коэффициентов ,, , , Уравнение регрессии, полученное на основании эксперимен­та, запишется следующим образом:

Коэффициент называют свободным членом урав­нения регрессии; коэффициенты ,- линейными эффектами; коэффициенты - квадратичными эффектам и; коэффициенты , ,— эффектами взаимодействия.

Коэффициенты уравнения (111,3) определяются методом наименьших квадратов из условия

Здесь N — объем выборки. Разность между объемом выбор­ки N и числом связей, наложенных на эту выборку I, на­зывается числом степеней свободы выборки f:

f=N — 1

При отыскании уравнения регрессии число связей равно чис­лу определяемых коэффициентов.

Таблица 1

В табл.1 показано число коэффициентов, кото­рые надо определить, чтобы получить полиномы различ­ных степеней для случая, когда число независимых факторов составляет от 2 до 5.

Из табл. 1 следует, что число коэффициентов, подлежащих определению, быстро увеличивается с рос­том как числа факторов, так и порядка полинома.

Вид уравнения регрессии выбирается путем эксперименталь­ного подбора.

МЕТОДЫ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

При изучении зависимости у от одного фактора для определе­ния вида уравнения регрессии полезно построить эмпирическую линию регрессии. Для этого весь диапазон изменения х на поле корреляции (рис. 3-2) разбивают на равные интерва­лы Δх. Все точки, попавшие в' данный, интервал Δх, относят к его середине - Для этого подсчитывают частные средние для каждого интервала:

(3.6)

рис. 3-2 Поле корреляции

Здесь - число точек в интервале Δ, причем

(3.7),

где k — число интервалов разбиения; N-объем выборки.

Затем последовательно соединяют точки (, ) отрезками прямой. Полученная ломаная называется эмпирической линией .регрессии y по х. По виду эмпирической линии регрессии можно подобрать уравнение регрессии = f(х).

Практически задача определения параметров уравнений регрессии сводится к определению минимума функции многих переменных. Если =f(x,,, ,…), есть функция дифференцируемая и требуется выбрать ,, … так, чтобы

необходимым условием минимума Ф (,, ) является вы­полнение равенств

…. (3.10)

Или

После преобразований получим:

(3.12)

Cистема уравнений (3.12) содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов ,, …,... входит в урав­нение регрессии, и называется в математической статистике системой нормальных уравнений.

Поскольку Ф≥О при любых ,, …, у величины Ф обя­зательно должен существовать хотя бы один минимум. Поэто­му, если система нормальных уравнений имеет единственное решение, оно и является минимумом для величины Ф. Решать систему (111,112) в общем виде нельзя. Для этого надо задаться конкретным видом функции f

.

Линейная регрессия от одного параметра.

Определить по ме­тоду наименьших квадратов коэффициенты линейного уравне­ния регрессии

(3.13) по выборке объема N.

Для этого случая система нормальных уравнений имеет вид:

Или

Коэффициенты и легко найти с помощью определителей.

Коэффициент проще найти по известному из первого уравнения системы (3.14):

(3.15)

где , - средние значения у и х.

Последнее уравнение показывает, в частности, что между коэффициентами и существует корреляционная зависи­мость.

Для оценки силы линейной связи вычисляется выбо­рочный коэффициент корреляции r*:

Таблица 3.2 – выборочные среднеквадратичные отклонения.

Из уравнений (3.15) и (3.16) имеем

После того, как уравнение регрессии найдено, необходимо провести статистический анализ результатов. Этот анализ со­стоит в следующем: проверяется значимость всех коэффициен­тов регрессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости и устанавливается адекватность уравнения. Такое исследование носит название регрессионного анализа.

При проведении регрессионного анализа примем следующие допущения:

1. Входной параметр х измеряется с пренебрежимо малой ошибкой. Появление ошибки в определении у объясняется на­личием в процессе невыявленных переменных и случайных воз­действий, не вошедших в уравнение регрессии.

2. Результаты наблюдений над выходной величи­ной представляют собой независимые нормально распределен­ные случайные величины,

3. При проведении эксперимента с .объемом выборки N при условии, что каждый опыт повторен m раз, выборочные диспер­сии , должны быть однородны.

При одинаковом числе параллельных опытов проверка од­нородности дисперсий сводится к следующему:

1. Определяется среднее из результатов параллельных опы­тов:

2. Определяются выборочные дисперсии:

3. Находится сумма дисперсий (3.20)

4. Составляется отношение

(3.21)

где - максимальное значение выборочной дисперсии

Если дисперсии однородны, то

где табулированное значение критерия Кохрена при уровне значимости р.

Если выборочные дисперсии однородны, рассчитывается дис­персия воспроизводимости:

Число степеней свободы этой дисперсии f равно:

f=N(m-1) (3.24)

Дисперсия воспроизводимости необходима для оценки зна­чимости коэффициентов уравнения регрессии (3.13). Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента:

(3.25)

где,— j-тый коэффициент уравнения регрессии; — среднее квадратичное отклонение j-го коэффициента.

Если - больше табулированного для выбранного уров­ня значимости р и числа степеней свободы f, то коэффициент значимо отличается от нуля; для уравнения (3.13) можно определить по закону накопления ошибок:

(3.28)

Если , получим:

(3.30)

Незначимые коэффициенты из уравнения регрессии исклю­чаются. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, поскольку коэффициенты взаимно закоррелированы. Адекват­ность уравнения проверяется по критерию Фишера:

F=S²_ад/S²_воспр (3.31)

где – дисперсия воспроизводимости; s²_ад — дисперсия адекватности.

(3.32)

Если отношение (3,32)- меньше табличного урав­нение адекватно.

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспро­изводимости качество аппроксимации можно оценить принятым уравнением, сравнив s²_ОСТ и дисперсию относительно среднего

по критерию Фишера

В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное для выбранною уровня значимости р и чисел степеней- свободы = N—1 и = N—l, тем эффективнее уравнение регрессии.

Параболическая регрессия.

Если уравнение регрессии пред­ставляет собой полином некоторой степени, то при использова­нии метода наименьших квадратов коэффициенты этого поли­нома находят решением системы линейных уравнений. Напри­мер, требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты квадратичной функции — параболы второго по­рядка:

В этом случае

И система нормальных уравнений имеет вид

(3.34)

Аналогичными по структуре уравнениями будут определять­ся коэффициенты параболы любого порядка.