русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Вывод уравнений на базе регрессионного анализа.


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 4151; Нарушение авторских прав


Использование принципов регрессионного и корреляционного анализа при обработке опытных данных позволяет найти зависимости между переменными и условиями оптимума. Математическая модель является функцией отклика, связывающая параметр оптимизации характеризующие результаты эксперимента с переменными, которые экспериментатор варьирует при проведении опытов.

y=φ(x1,x2,…xn)

 

Х – фактор

Хi – факторное пространство.

Геометрическое отображение функции отклика в факторном пространстве (у) называется поверхностью отклика. При использовании статистических методов математическая модель представляется в виде полинома (отрезка ряда Тейлора), в ко­торый разлагается неизвестная зависимость

где

В связи с тем, что в реальном процессе всегда существуют неуправляемые и неконтролируемые переменные, результат экс­перимента есть случайная величина. Поэтому при обработке экспериментальных данных получаются так называемые выборочные коэффициенты регрессии, ,, , , яв­ляющиеся оценками теоретических коэффициентов ,, , , Уравнение регрессии, полученное на основании эксперимен­та, запишется следующим образом:

Коэффициент называют свободным членом урав­нения регрессии; коэффициенты ,- линейными эффектами; коэффициенты - квадратичными эффектам и; коэффициенты , ,— эффектами взаимодействия.

Коэффициенты уравнения (111,3) определяются методом наименьших квадратов из условия

Здесь N — объем выборки. Разность между объемом выбор­ки N и числом связей, наложенных на эту выборку I, на­зывается числом степеней свободы выборки f:

f=N — 1

При отыскании уравнения регрессии число связей равно чис­лу определяемых коэффициентов.

Число факторов Число коэффициентов в полиномах 1-4 степени Число факторов Число коэффициентов в полиномах 1-4 степени
1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 3 4 6 10 10 20 15 35 4 5 5 6 15 21 35 56 70 126

Таблица 1



 

В табл.1 показано число коэффициентов, кото­рые надо определить, чтобы получить полиномы различ­ных степеней для случая, когда число независимых факторов составляет от 2 до 5.

Из табл. 1 следует, что число коэффициентов, подлежащих определению, быстро увеличивается с рос­том как числа факторов, так и порядка полинома.

Вид уравнения регрессии выбирается путем эксперименталь­ного подбора.


МЕТОДЫ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

При изучении зависимости у от одного фактора для определе­ния вида уравнения регрессии полезно построить эмпирическую линию регрессии. Для этого весь диапазон изменения х на поле корреляции (рис. 3-2) разбивают на равные интерва­лы Δх. Все точки, попавшие в' данный, интервал Δх, относят к его середине - Для этого подсчитывают частные средние для каждого интервала:

(3.6)

 

 

рис. 3-2 Поле корреляции

Здесь - число точек в интервале Δ, причем

(3.7),

где k — число интервалов разбиения; N-объем выборки.

Затем последовательно соединяют точки (, ) отрезками прямой. Полученная ломаная называется эмпирической линией .регрессии y по х. По виду эмпирической линии регрессии можно подобрать уравнение регрессии = f(х).

Практически задача определения параметров уравнений регрессии сводится к определению минимума функции многих переменных. Если =f(x,,, ,…), есть функция дифференцируемая и требуется выбрать ,, … так, чтобы

необходимым условием минимума Ф (,, ) является вы­полнение равенств

…. (3.10)

Или

 

После преобразований получим:

(3.12)

Cистема уравнений (3.12) содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов ,, …,... входит в урав­нение регрессии, и называется в математической статистике системой нормальных уравнений.

Поскольку Ф≥О при любых ,, …, у величины Ф обя­зательно должен существовать хотя бы один минимум. Поэто­му, если система нормальных уравнений имеет единственное решение, оно и является минимумом для величины Ф. Решать систему (111,112) в общем виде нельзя. Для этого надо задаться конкретным видом функции f

.

Линейная регрессия от одного параметра.

 

Определить по ме­тоду наименьших квадратов коэффициенты линейного уравне­ния регрессии

(3.13) по выборке объема N.

Для этого случая система нормальных уравнений имеет вид:

Или

Коэффициенты и легко найти с помощью определителей.

Коэффициент проще найти по известному из первого уравнения системы (3.14):

(3.15)

где , - средние значения у и х.

Последнее уравнение показывает, в частности, что между коэффициентами и существует корреляционная зависи­мость.

Для оценки силы линейной связи вычисляется выбо­рочный коэффициент корреляции r*:

 

Таблица 3.2 – выборочные среднеквадратичные отклонения.

Из уравнений (3.15) и (3.16) имеем

 

 

После того, как уравнение регрессии найдено, необходимо провести статистический анализ результатов. Этот анализ со­стоит в следующем: проверяется значимость всех коэффициен­тов регрессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости и устанавливается адекватность уравнения. Такое исследование носит название регрессионного анализа.

При проведении регрессионного анализа примем следующие допущения:

1. Входной параметр х измеряется с пренебрежимо малой ошибкой. Появление ошибки в определении у объясняется на­личием в процессе невыявленных переменных и случайных воз­действий, не вошедших в уравнение регрессии.

2. Результаты наблюдений над выходной величи­ной представляют собой независимые нормально распределен­ные случайные величины,

3. При проведении эксперимента с .объемом выборки N при условии, что каждый опыт повторен m раз, выборочные диспер­сии , должны быть однородны.

При одинаковом числе параллельных опытов проверка од­нородности дисперсий сводится к следующему:

1. Определяется среднее из результатов параллельных опы­тов:

 

2. Определяются выборочные дисперсии:

3. Находится сумма дисперсий (3.20)

4. Составляется отношение

(3.21)

где - максимальное значение выборочной дисперсии

Если дисперсии однородны, то

где табулированное значение критерия Кохрена при уровне значимости р.

Если выборочные дисперсии однородны, рассчитывается дис­персия воспроизводимости:

 

Число степеней свободы этой дисперсии f равно:

f=N(m-1) (3.24)

Дисперсия воспроизводимости необходима для оценки зна­чимости коэффициентов уравнения регрессии (3.13). Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента:

(3.25)

где,— j-тый коэффициент уравнения регрессии; — среднее квадратичное отклонение j-го коэффициента.

Если - больше табулированного для выбранного уров­ня значимости р и числа степеней свободы f, то коэффициент значимо отличается от нуля; для уравнения (3.13) можно определить по закону накопления ошибок:

 

(3.28)

Если , получим:

 

 

(3.30)

Незначимые коэффициенты из уравнения регрессии исклю­чаются. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, поскольку коэффициенты взаимно закоррелированы. Адекват­ность уравнения проверяется по критерию Фишера:

F=S2ад/S2воспр (3.31)

где – дисперсия воспроизводимости; s2ад — дисперсия адекватности.

(3.32)

Если отношение (3,32)- меньше табличного урав­нение адекватно.

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспро­изводимости качество аппроксимации можно оценить принятым уравнением, сравнив s2ОСТ и дисперсию относительно среднего

 

 

по критерию Фишера

В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное для выбранною уровня значимости р и чисел степеней- свободы = N—1 и = N—l, тем эффективнее уравнение регрессии.

Параболическая регрессия.

Если уравнение регрессии пред­ставляет собой полином некоторой степени, то при использова­нии метода наименьших квадратов коэффициенты этого поли­нома находят решением системы линейных уравнений. Напри­мер, требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты квадратичной функции — параболы второго по­рядка:

В этом случае

И система нормальных уравнений имеет вид

(3.34)

 

Аналогичными по структуре уравнениями будут определять­ся коэффициенты параболы любого порядка.

 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Математическое моделирование | Сущность рекламы. Функции рекламы. Виды рекламы.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.007 сек.