Лекция 11. Поправка Ирвина на пластичность

Перед концом разреза для большинства реальных материалов возникает зона интенсивных пластических деформаций.

В случае, если протяженность этой зоны не превышает 20% от общей длины разреза, поле напряжений вокруг пластической зоны все еще будет определяться асимптотическими формулами. Поэтому и размер пластической области, и интенсивность пластических деформаций в ней полностью определяется коэффициентом интенсивности напряжений и свойствами материала.

Для определения размера пластической зоныбыли решены следующие задачи:

· Задача об определении размера пластической зоны у остроконечного эллиптического разреза в случае одноосного растяжения пластины при плоском напряженном состоянии (решение Дж. Ирвина, 1960 г.).

Рис. 11.1. Распределение напряжений перед вершиной разреза и оценка пластической области на основе баланса нагрузок

Рассматривается бесконечная тонкая пластина, выполненная из пластичного материала, находящаяся под воздействием одноосного напряжения s. В центре пластины имеется идеальный бесконечно тонкий эллиптический разрез длиной 2×l. Напряжение в вершине разреза определяется как (6.4):

. (11.1)

при r = δ, θ = 0, σ = σ_Y – предел текучести материала пластины:

, . (11.2)

, . (11.3)

Очевидно, что это очень грубая оценка и действительный размер пластической зоны больше чем δ. Вследствие пластического течения перемещения в этой зоне больше, а жесткость меньше, чем в остальном материале. Поэтому, под действием нагрузки, пластина ведет себя так, как будто в ней разрез несколько большего размера.

На рисунке 11.1 показан действительный разрез длиной l и пластическая зона у его вершины размером δ* (δ* > δ). Распределение напряжений вокруг пластической зоны приближенно можно представить таким, какое получается при замене длины разреза l на l_eff = l + ξ (ξ << l). Если считать, что имеет место равновесие нагрузок, то заштрихованная область А равна заштрихованной области В. Тогда можно установить, что:

. (11.4)

Принимая во внимание значение:

. (11.5)

Тогда:

или . (11.6)

Поскольку в сравнении с длиной разреза l величина ξ мала, то ею можно пренебречь, а значит:

. (11.7)

Равенство площадей заштрихованной области А и заштрихованной области В приводит к зависимости:

, (11.8)

, , (11.9)

. (11.10)

Применение соотношений λ = δ и δ* = δ + ξ, позволяет получить:

, , , (11.11)

. (11.12)

Эффективную длину разреза можно представить в виде суммы l + ξ. Коэффициент интенсивности напряжений для такого разреза в случае плоского напряженного состояния может быть представлен в виде:

, (11.13)

. (11.14)

Размер и форма пластической зоны в случае плоского напряженного состояния (ПНС) и плоского деформированного состояния (ПДС) различны. Для определения этих различий может быть использовано условие текучести Мизеса (5.38), представленное через главные напряжения:

. (11.15)

Здесь σ₁ – первое главное напряжение (наибольшее); σ₂ – второе главное напряжение; σ₃ – третье главное напряжение (наименьшее); σ_Y – предел текучести материала при растяжении (сжатии).

Для главных напряжений можно записать следующие зависимости:

(11.16)

, (11.17)

– ПНС, (11.18)

– ПДС. (11.19)

Подстановка вышеприведенных формул (11.16)-(11.19) в условие Мизеса (11.15) позволяет определить форму границы, отделяющей упругую область от пластической:

– ПНС, (11.20)

– ПДС. (11.21)

Если использовать подстановку r = δ(q), то можно перейти к выражениям вида:

– ПНС, (11.22)

– ПДС. (11.23)

Рис. 11.2. Конфигурация пластических зон, полученных по критерию текучести Мизеса.

Рис. 11.3. Внешний вид деформаций.

Таким образом (рис. 11.2), при одинаковых внешних силовых воздействиях, пластическая зона при плоском деформированном состоянии (ПДС) меньше пластической зоны при плоском напряженном состоянии (ПНС). В случае толстых пластин со сквозным разрезом, на поверхностях определяющим является плоское напряженное состояние, а внутри – плоская деформация. Поэтому вдоль фронта разреза пластическая зона будет изменяться: максимум – на внешних поверхностях, минимум – в центральной части пластины.

· Задача об определении размера пластической зоны у остроконечного эллиптического разреза в случае одноосного растяжения пластины при плоском деформированном состоянии (решение Дж. Ирвина, 1960 г.).

Рассматривается бесконечная тонкая пластина, выполненная из пластичного материала, находящаяся под воздействием одноосного напряжения s. В центре пластины имеется идеальный бесконечно тонкий эллиптический разрез длиной 2×l. Форма границы, отделяющей упругую область от пластической определяется как:

. (11.24)

при θ = 0:

, . (11.25)

Эффективную длину разреза можно представить в виде суммы l + ξ. Коэффициент интенсивности напряжений для такого разреза в случае плоского деформированного состояния может быть представлен в виде:

, (11.26)

. (11.27)

Таким образом, для вычисления коэффициента интенсивности напряжений в случае наличия пластических деформаций в вершине разреза следует искусственно увеличить длину (или полудлину) разреза на половину длины пластической зоны. Эта процедура носит название пластической поправки Ирвина.

По величине и форме пластической области, а также по распределению напряжений в ней плоское деформированное состояние существенно отличается от плоского напряженного состояния. Это объясняет некоторые особенности разрушения плоских пластин.

В окрестностях центральной плоскости пластины (рис. 11.3) определяющей является плоское напряженное состояние – разрушение происходит в плоскости XZ, где действуют максимальные нормальные напряжения. В окрестностях свободных поверхностей пластины доминирующим является плоское напряженное состояние – разрушение происходит в результате сдвига по плоскостям, расположенным под углом 45⁰ к плоскости XY под действием максимальных касательных напряжений.

Поправка Ирвина позволила оценивать коэффициенты интенсивности напряжений для материалов, у которых размер пластической зоны не превышает 20% от длины разреза. Однако, в инженерной практике применяются материалы, обладающие высокими пластическими свойствами, где асимптотические формулы (6.3)-(6.24) не применимы, а значит использование коэффициента интенсивности напряжений невозможно. Поэтому следующим шагом стала разработка альтернативных методов оценки поля напряжений и смещений в окрестности трещины в зависимости от внешних нагрузок и размеров тела в случае интенсивных пластических деформаций.