Лекция 10. Концепция Гриффитса-Орована-Ирвина

Высокая концентрация напряжений у вершины разреза приводит к появлениюпластического течения (предшествующего образованию новых поверхностей)и соответствующим затратам энергии.

В результате удельная работа разрушения, идущая на образование единицы площади новой поверхности тела равна:

. (10.1)

Здесь g – удельная работа разрушения; g_p – удельная работа пластической деформации у вершины разреза.

Е.О. Орованом было установлено, что в случае квазихрупкого разрушения пластические деформации сосредоточены перед вершиной разреза в области, размер которой бесконечно мал по сравнению с длиной разреза. При этом затраты энергии на образование единицы площади новой поверхности тела главным образом связаны с работой пластической деформации объемов металла, перед вершиной разреза:

, (10.2)

. (10.3)

Концепция Гриффитса-Орована-Ирвина: если линейные размеры зоны пластической деформации перед вершиной разреза малы по сравнению с его длиной (квазихрупкое разрушение), то поток упругой энергии можно вычислить воспользовавшись упругим решением А. Гриффитса, а затраты энергии на разрушения определить, вычислив работу пластической деформации.

Критическое напряжение s_c, при котором разрез длиной 2×l становится опасным, будет:

. (10.4)

Критическая длина разреза l_c, меньше которой разрезы при действующем напряжении s не распространяются, будет:

. (10.5)

Вышеприведенные формулы были получены для случая плоского напряженного состояния; в случае плоской деформации нужно заменить E на E/(1–m²).

Обобщением теории А. Гриффитса стала следующая задача:

· Задача о разрушении пластины с остроконечным эллиптическим разрезом в случае одноосного растяжения (решение Дж. Ирвина, 1957 г.).

Рассматривается тонкая пластина конечных размеров, выполненная из квазихрупкого материала, находящаяся под воздействием одноосного напряжения s. В центре пластины имеется идеальный бесконечно тонкий эллиптический разрез длиной 2×l. Согласно теории А. Гриффитса работа, идущая на увеличение длины разреза равна:

. (10.6)

Здесь G_I – поток энергии, идущий в вершину разреза, отнесенный к единице длины новой поверхности разреза или интенсивность освобождающейся упругой энергии.

Рис. 10.1. Продвижение конца разреза на величину Δl

Рассчитаем величину потока энергии, воспользовавшись следующим подходом. У вершины разреза проведем микроразрез длиной Δl (рис. 10.1), который не имеет возможности раскрыться из-за связи между берегами, подверженными действию тех же напряжений (с обратным знаком), что возникали перед разрезом в исходной пластине (до проведения мысленного микро разреза). Если затем медленно уменьшим эти напряжения до нуля, то микроразрез раскроется и получим приращение длины исходного разреза на величину Δl.

При этом сила, удерживающая берега вымышленного микроразреза на участке от x до x+dx медленно убывает от значения (6.4):

, (10.7)

при r = x, θ = 0:

. (10.8)

Точка приложения этой силы перемещается до значений (6.9):

, (10.9)

при r = Δl – x, θ = π:

. (10.10)

Работа удерживающей силы равна площади заштрихованного треуголь-ника на графике, отража-ющем зависимость σ_yy×dx от u_yy, которую можно принять линейной.

Рис. 10.2. Вычисление работы напряжений σ_yy при продвижении разреза на величину Δl

Полную работу, совершаемую, при продвижении разреза на величину Δl (рис. 10.2) можно вычислить как:

. (10.11)

Здесь для вычисления интеграла использовалась подстановка x = Δl× sin²φ:

. (10.12)

Искомый поток энергии, идущий в вершину разреза, отнесенный к единице длины новой поверхности разреза для плоского деформированного состояния:

. (10.13)

Искомый поток энергии, идущий в вершину разреза, отнесенный к единице длины новой поверхности разреза для плоского напряженного состояния:

. (10.14)

Для разреза общего вида поток энергии, идущий в вершину разреза, отнесенный к единице длины новой поверхности разреза для плоского деформированного состояния может быть определен как:

. (10.15)

Для разреза общего вида поток энергии, идущий в вершину разреза, отнесенный к единице длины новой поверхности разреза для плоского напряженного состояния может быть определен как:

. (10.16)

На основании вышеприведенного выражения может быть рассчитан коэффициент интенсивности напряжений для разреза общего вида:

. (10.17)

Здесь k – упругая постоянная Мусхелишвили:

– для плоского деформированного состояния.

– для плоского напряженного состояния.

Таким образом, условие наступления критического состояния, когда разрез начнет самопроизвольно увеличивать свою длину будет:

o – интенсивность высвобождающейся энергии G (G_I, G_II, G_III) достигает критического значения G_c (G_Ic, G_IIc, G_IIIc) (энергетический критерий).

o – коэффициент интенсивности напряжений K (K_I, K_II, K_III) достигает критического значения K_c (K_Ic, K_IIc, K_IIIc) (силовой критерий).

Величины G_c и K_c определяются экспериментально и называются вязкостью разрушения (трещиностойкостью материала). При этом опытным путем установлено, что:

, (10.18)

На основании этого могут быть получены следующие зависимости:

– для плоского деформированного состояния. (10.19)

– для плоского напряженного состояния. (10.20)

Для расчета критического состояния используют следующее правило, основанное на концепции R-кривой. В случае плоского деформированного состояния величина G_Iс не зависит от длины разреза l. Пусть известна начальная длина разреза l₀ (рис. 10.3). Отложим эту величину вдоль горизонтальной оси влево от нуля. При заданном напряжении σ₀. интенсивность освобождающейся упругой энергии:

, , . (10.21)

Значение G_I0 меньше чем G_Iс, а значит, разрез не будет развиваться. Увеличение напряжения от σ₀ до σ₁ приводит к интенсификации освобождения упругой энергии, которая достигает критической величины G_Iс, после чего происходит разрушение – самопроизвольное увеличение длины разреза по закону, описываемому прямой AB. В более длинном разрезе размером l₁ эта ситуация будет наблюдаться уже при напряжении σ₀ и самопроизвольное увеличение длины разреза будет происходить по закону, описываемому прямой AС.

Рис. 10.3. Универсальное представление энергетического критерия (R-кривая)

В случае плоского напряженного состояния величина G_Iс зависит от длины разреза l. Пусть известна начальная длина разреза l₀. Отложим эту величину вдоль горизонтальной оси влево от нуля. При заданном напряжении σ₀. интенсивность освобождающейся упругой энергии G_I0 меньше чем G_Iс, а значит, разрез не будет развиваться. Увеличение напряжения от σ₀ до σ₁ приводит к интенсификации освобождения упругой энергии, но этого опять-таки недостаточно, так как кривая G_Iс лежит выше. Дальнейшее увеличение напряжения от σ₁ до σ₂ приводит к увеличению длины разреза на величину Δl₂. Значение величин G_I и G_Iс изменяется вдоль кривой от точки А к точке В. При напряжении σ₃ длина разреза становится равна l₃, а величины G_I и G_Iс достигают точки C, после чего происходит разрушение – самопроизвольное увеличение длины разреза по закону, описываемому прямой CD.

Подход, разработанный Е.О. Орованом и Дж. Ирвином позволил перейти от идеального материала в теории А. Гриффитса к реальным материалам. Схема квазихрупкого разрушения позволила перевести модель А. Гриффитса в разряд инженерных представлений, приемлемых для практического использования. Однако, несмотря на свою привлекательность концепция Гриффитса-Орована-Ирвина применима только для случая, когда линейные размеры зоны пластической деформации перед вершиной разреза малы по сравнению с его длиной. Для большинства реальных материалов размер этой зоны составляет до 20% от длины разреза, поэтому следующим шагом стала модернизация исходной концепции.