Лекция 9. Основные положения теории Гриффитса

Для оценки прочности конструкции с позиций механики разрушения необходимо знать критическое напряжение, при котором начнется разрушение, инициированное концентрацией напряжений в вершине разреза. Величина критического напряжения была впервые оценена А. Гриффитсом в 1920 г.

В своих работах А. Гриффитс доказал, что концентрация напряжений в вершине разреза, установленная Г.В. Колосовым и К. Инглисом, позволяет превращать энергию деформирования в энергию разрушения и что разрушение возможно только при постоянном подводе энергии:

· Задача о разрушении пластины с остроконечным эллиптическим разрезом в случае одноосного растяжения (решение А. Гриффитса, 1920 г.).

Рассматривается тонкая пластина конечных размеров, выполненная из идеально хрупкого материала, находящаяся под воздействием одноосного напряжения s (рис. 9.1). В центре пластины имеется идеальный бесконечно тонкий эллиптический разрез длиной 2×l. Габаритные размеры пластины: ширина – b, высота – a, толщина – t. Толщина пластины считается бесконечно малой по сравнению с ее шириной. Длина разреза много меньше габаритных размеров пластины.

Рис. 9.1. Развитие разрушения в пластине с остроконечным эллиптическим разрезом в случае одноосного растяжения

Под воздействием одноосного напряжения s в объеме пластины, не содержащей разреза, накапливается энергия упругой деформации равная:

. (9.1)

При наличии разреза в прилегающей к нему зоне размером c×l² происходит локальная разгрузка, приводящая к уменьшению энергии упругой деформации накопленной в пластине на величину равную:

. (9.2)

Освобожденная упругая энергия равна:

. (9.3)

Для учета неопределенности формы и размеров зоны разгрузки, а также неоднородности напряженного состояния в ней А. Гриффитс ввел константу с. Ее величину он определил, основываясь на решении задачи о концентрации напряжений вблизи тонкого эллиптического разреза:

. (9.4)

В результате:

. (9.5)

Согласно А. Гриффитсуосвобожденная упругая энергия поступает в вершину разреза, где возникла концентрация напряжений и там затрачивается на разрушение – образование новой поверхности тела.

Работа на образование трещины длиной 2×l равна:

. (9.6)

Здесь g – постоянная материала, равная отношению удельной работе разрушения к единице площади новой поверхности тела.

Если представить, что торцевые кромки пластины неподвижны (внешние силы работы не совершают), а длина разреза увеличилась на малую величину Dl ® 0, то высвободится энергия деформации -DW > 0 равная:

. (9.7)

На увеличение длины разреза будет затрачена энергия:

. (9.8)

Согласно Гриффитсу возможны две ситуации:

o - освобождаемой энергии с избытком хватит на разрушение материала в вершине разреза, и он начнет самопроизвольно увеличивать свою длину вплоть до разделения пластины на две части. При этом кинетическая энергия будет выделяться все интенсивнее, и рост разреза будет происходить все быстрее;

o - освобождаемой энергии не хватит, и разрез останется неподвижным.

Таким образом, условие наступления критического состояния, когда разрез начнет самопроизвольно увеличивать свою длину будет:

. (9.9)

Для рассматриваемой пластины имеем:

. (9.10)

Критическое напряжение s_c, при котором разрез длиной 2×l становится опасным, будет:

. (9.11)

Критическая длина разреза l_c, меньше которой разрезы при действующем напряжении s не распространяются, будет:

. (9.12)

Вышеприведенные формулы (9.11)-(9.12) были получены для случая плоского напряженного состояния; в случае плоского деформированного состояния нужно заменить E на E/(1–m²).

Критическое состояние считается достигнутым, если разрез получил возможность распространяться, и тогда он становится трещиной.

Рис. 9.2. Зависимость критического напряжения от критической длины разреза

Для расчета критического состояния используют следующее правило: пусть известна начальная длина разреза l₀ (рис. 9.2). Отложим эту величину вдоль горизонтальной оси и, восстановив перпендикуляр в конце отрезка до пересечения с графиком, найдем напряжение s_c, критическое для данного разреза. Если напряжение, приложенное к телу меньше критического, разрез не будет развиваться. Если напряжение будет увеличиваться, и критическое значение будет достигнуто, разрез начнет развиваться неустойчиво, и тело стремительно разрушится – произойдет хрупкое разрушение.

Данное правило является основным достижением теории А. Гриффитса. Длительное время считалось, что теория А. Гриффитса применима только к очень хрупким материалам (стекло, камень, кирпич, керамика и др.) и для большинства конструкционных материалов, проявляющих пластические свойства не применима. Следующим шагом стало применение теории А. Гриффитса для разрушения пластичных металлов с учетом понятия энергии, затрачиваемой на развитие пластических деформаций вблизи разреза.