Лекция 8. Расчет коэффициента интенсивности напряжений. Часть 2

· Численный – связанный с нахождением приближенного (численного) решения задач механики сплошной среды для упругих тел с разрезами, посредством вариационных методов теории упругости.

Для вычисления коэффициента интенсивности напряжений необходимо решать задачи для тел сложной геометрической формы с произвольными разрезами. Решение таких задач, в рамках механики сплошных сред, связано с известными математическими трудностями, обусловленными наличием особых (сингулярных) точек в вершинах разреза. Большинство таких задач может быть эффективно решено только с применением одного из современных численных методов - метода конечных элементов, предложенного Р. Курантом и развитого О. Зенкевичем, Р. Галлагером, Дж. Оденом и др.

В основе метода конечных элементов лежит понятие полной энергии твердого тела.

Рассмотрим объемное тело с наложенными на него связями, которое находится под действием поверхностных и объемных сил. Поверхностные нагрузки характеризуются интенсивностями, проекции которых на оси координат p_xx, p_yy, p_zz соответственно. Объемные нагрузки характеризуются интенсивностями, проекции которых на оси координат F_x_x, F_yy, F_zz соответственно.

Полная энергия тела T представляет собой изменение энергии внутренних U и внешних сил W при переходе тела из начального (недеформированного) состояния в последующее (деформированное) состояние:

. (8.1)

Выберем в объеме тела некоторую точку в окрестности которой выделим элементарный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям X, Y, Z, а их длины равны dx, dy, dz соответственно. Для линейно-упругого изотропного тела энергия внутренних сил, действующих на параллелепипед, равна:

. (8.2)

В компактной форме записи:

. (8.3)

Во всем объеме тела энергия внутренних сил равна:

. (8.4)

В процессе деформации тела внешние поверхностные и объемные силы совершат отрицательную работу по деформации параллелепипеда:

, (8.5)

. (8.6)

Во всем объеме тела энергия внешних сил равна:

. (8.7)

На основании вышеизложенных зависимостей (8.1), (8.4), (8.7) полная энергия твердого тела, нагруженного поверхностными и объемными силами, может быть определена как:

. (8.8)

С учетом ранее полученных статических, геометрических и физических уравнений (4.25) полная энергия твердого тела равна:

. (8.9)

Согласно идеологии метода конечных элементов (рис. 8.1) материальный континуум может быть разбит на конечное число пространственных расчетных элементов простейшей формы, взаимодействующих друг с другом в узловых точках.

Рис. 8.1. Расчет тонкостенной конструкции по методу конечных элементов

Для каждого из полученных элементов может быть определена матрица функции формы элемента N_(e), предназначенная для нахождения значений перемещений в любой точке {u}₍_e₎ = {u_xx u_yy u_zz} расчетного элемента заданной формы на основе значений перемещений в его n узловых точках {u}₍_n₎ = {u₍₁₎_xx u₍₁₎_yy u₍₁₎_zz u₍₂₎_xx u₍₂₎_yy u₍₂₎_zz … u₍_n₎_xx u₍_n₎_yy u₍_n₎_zz}:

. (8.10)

Деформация узловых точек расчетного элемента может быть определена из выражения:

. (8.11)

На основании зависимостей (8.10)-(8.11) полная энергия расчетного элемента равна:

. (8.12)

В результате замены:

, (8.13)

, (8.14)

, (8.15)

Здесь K₍_e₎ – матрица жесткости расчетного элемента; {Q_p}₍_e₎ – векторы узловых сил расчетного элемента, статически эквивалентные действию поверхностных сил; {Q_F}₍_e₎ – векторы узловых сил расчетного элемента, статически эквивалентные действию объемных сил.

Может быть получено выражение вида:

. (8.16)

Применим к деформируемому телу, состоящему из отдельных расчетных элементов, вариационный принцип возможных перемещений Лагранжа, согласно которому при заданных внешних силах и условиях закрепления, для любого возможного перемещения тела, вариация его полной энергии равна нулю. Здесь вариация – искусственное малое приращение малой величины. Таким образом, полная энергия тела в результате его деформации не изменяется:

. (8.17)

С учетом ранее полученных соотношений (8.16), (8.17) основное уравнение метода конечных элементов может быть представлено в виде:

. (8.18)

Проведение замены:

; , (8.19)

Здесь K – глобальная матрица жесткости; {Q} – глобальный вектор узловых сил.

Приводит к разрешающему уравнению метода в виде:

. (8.20)

Вышеприведенное выражение (8.20) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений, численное решение которой позволяет определить поле перемещений узловых точек ансамбля расчетных элементов.

Поля перемещений, напряжений и деформаций внутри каждого из расчетных элементов могут быть вычислены посредством выражений:

, , . (8.21)

Рис. 8.2. Расчет тонкостенной конструкции по методу конечных

элементов

Значения напряжений и деформаций, внутри данных полей изменяются от элемента к элементу (рис. 8.2), однако внутри каждого отдельно взятого элемента они постоянны. Поэтому для получения более точной картины напряженно-деформированного состояния в местах, где присутствуют различные концентраторы, следует использовать конечные элементы меньших размеров, постепенно сгущая сетку ближе к вершине концентратора.

Основные способы расчета коэффициента интенсивности напряжений с использованием метода конечных элементов:

· Прямые методы. Полученные в окрестности разреза значения перемещений, напряжений и деформаций могут быть подставлены в соответствующие асимптотические формулы и по ним определен искомый коэффициент интенсивности напряжений. При использовании напряжений этот метод называется методом напряжений, а при использовании перемещений – методом перемещений.

Для повышения точности расчета коэффициента интенсивности напряжений используют следующий метод (рис. 8.3). Посредством асимптотических формул (6.3)-(6.24) коэффициент интенсивности напряжений К рассчитывается на различных расстояниях r от вершины разреза при θ = 0. Затем строится график зависимости K от r. Искомое значение K, принимают равным тому значению, которое получается в результате экстраполяции при r ® 0. При этом расстояние между расчетными точками, при приближении к вершине разреза, постепенно увеличивают, так как в этой области точность асимптотических формул заметно снижается.

Рис. 8.3. Прямой метод напряжений для расчета коэффициента интенсивности напряжений

· Энергетические методы. Полученные в окрестности разреза значения перемещений, напряжений и деформаций могут быть использованы для расчета энергии внутренних сил. Изменение энергии внутренних сил при увеличении длины разреза соответствует интенсивности высвобождаемой энергии, которая связана с коэффициентом интенсивности напряжений следующим соотношением:

. (8.22)

Для определения интенсивности высвобождаемой энергии используют следующие методы:

Метод податливости – посредством метода конечных элементов определяют энергию внутренних сил U(A) для разреза площадью А. Затем рассматривают увеличение длины разреза на один элемент (рис. 8.4). При тех же граничных условиях с использованием метода конечных элементов определяют энергию внутренних сил U(A+ΔA) для разреза площадью А+ΔA. Тогда интенсивности высвобождаемой энергии G равна:

. (8.23)

Метод виртуального удлинения разреза– аналогичен предыдущему за исключением того, что здесь рост разреза моделируется путем изменения координат его вершин (рис. 8.4). В результате будет происходить изменение жесткости локальных элементов, которые окружают вершину разреза. В отличие от предыдущего метода здесь нет необходимости перестраивать всю сетку конечных элементов, а значит, решение может быть найдено гораздо быстрее.

Рис. 8.4. Энергетические методы расчета коэффициента интенсивности напряжений

· Использование специальных конечных элементов. Коэффициент интенсивности напряжений определяется на основе решения, полученного из функций напряжений Н.И. Мусхелишвили и Г. Вестергарда (7.16), заложенных в элемент специальной формы. При этом аналитическое решение имеет особенность напряжений, характерную для вершины разреза (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Расчет коэффициента интенсивности напряжений при помощи специальных конечных элементов

Несмотря на ценные аналитические зависимости, полученные Г.В. Колосовым, К. Ирвином, Н.И. Мусхелишвили, Г. Вестергардом, а также численные методики, основанные на методе конечных элементов, одного знания о распределении напряжений в вершине разреза недостаточно и для прогнозирования разрушения нужно знать величину допустимого напряжения, которая совместно с длиной разреза определяет процесс. Именно поэтому следующим шагом стало установлению взаимосвязи между вышеуказанными величинами, которая впервые была описана в работах А. Гриффитса.