Лекция 7. Расчет коэффициента интенсивности напряжений. Часть 1

Анализ асимптотических формул (6.11)-(6.24) показывает, что перемещения, напряжения и деформации вблизи разреза зависят, посредством коэффициента интенсивности напряжений, от геометрии и размеров тела, длины разреза, схемы приложения и величины внешних нагрузок. В настоящее время для его вычисления используются два подхода:

· Аналитический – связанный с нахождением точного (аналитического) решения задач механики сплошной среды для упругих тел с разрезами, посредством использования общих методов теории упругости.

Вычисление коэффициента интенсивности напряжений для плоских тел простой геометрической формы с идеальными разрезами может быть осуществлено при помощи метода функции напряжений, сущность которого заключается в замене напряжений σ_xx, σ_yy, τ_xy, входящих в основные уравнения механики сплошной среды, некоторой функцией φ = f(x, y):

, , . (7.1)

Рассмотрим плоское тело с наложенными на него связями, которое находится под действием поверхностных и объемных сил. Поверхностные нагрузки характеризуются интенсивностями, проекции которых на оси координат p_xx, p_yy соответственно. Объемные нагрузки характеризуются интенсивностями, проекции которых на оси координат F_x_x, F_yy соответственно.

Дифференцирование первого и второго статического уравнения (4.11) по координатам х и y, а также их последующее суммирование позволяет перейти к выражению:

. (7.2)

Независимость объемных сил F_xx, F_yy от координат x и y в вышеприведенном тождестве (7.2) приводит к соотношению:

. (7.3)

Подстановка в уравнения неразрывности деформаций (4.12) физических соотношений (4.14) приводит к выражению:

, (7.4)

, (7.5)

Модуль упругости при сдвиге: ,

, (7.6)

. (7.7)

. (7.8)

Здесь может быть использован гармонический оператор Лапласа:

. (7.9)

В результате для двухмерного напряженного состояниястатические и геометрические выражения могут быть записаны в виде:

, (7.10)

. (7.11)

Замена напряжений σ_xx, σ_yy, τ_xy на некоторую функцию φ позволяет существенно упростить решение прямой задачи теории упругости: подстановка всевозможных функций φ позволяет получать поля напряжений, удовлетворяющие уравнениям равновесия. Из всех равновесных полей только истинное поле напряжений будет удовлетворять полученному ранее геометрическому уравнению (7.11):

. (7.12)

. (7.13)

Раскрытие этого выражения приводит к бигармоническому уравнению:

. (7.14)

В результате для нахождения поля напряжений в случае двухмерной (плоской) задачи необходимо решить бигармоническое уравнение.

Граничные условия для произвольной точки на поверхности тела дополняют бигармоническое уравнение:

, . (7.15)

Здесь p_nn – проекция поверхностной нагрузки на нормаль к поверхности тела в данной точке; p_ss – проекция поверхностной нагрузки на касательную к поверхности тела в данной точке.

Для нахождения поля напряжений в вершине разреза Н.И. Мусхелишвили и Г. Вестергардом было предложно использовать функцию напряжений вида:

, где . (7.16)

Здесь f(x) – комплексная функция произвольного вида; Re – действительная часть комплексной функции f(x); Im – мнимая часть комплексной функции f(x).

Напряжения, действующие у вершины идеального разреза длиной l в бесконечной пластине, в случае одноосного растяжения с напряжением σ могут быть выражены через функцию напряжений:

, (7.17)

, (7.18)

. (7.19)

Здесь комплексная функция f(z) имеет вид:

, где . (7.20)

Комплексная функция f(z) определена всюду, за исключением области –l ≤ x ≤ l, y = 0. Граничные условия удовлетворяются автоматически, так как при z → ∞ функция напряжений приводит к тождествам σ_xx = σ_yy = σ, τ_xy = 0.

Здесь удобнее перейти к полярной системе координат с началом в вершине разреза заменив z в выражении (7.20) на l + s.

. (7.21)

Принимая во внимание s/l << 1, s = r·eⁱ^·^θполучим:

, . (7.22)

На основании полученных соотношений компоненты функции напряжений могут быть представлены в виде:

, (7.23)

. (7.24)

В результате поля напряжений в вершине разреза:

, (7.25)

, (7.26)

, (7.27)

В вершине разреза, в точках с координатами (-l, 0) и (l, 0), вышеприведенные функции имеют вид:

, , . (7.28)

Общий для обеих функций множитель является искомым коэффициентом интенсивности напряжений:

. (7.29)

Подстановка вышеприведенного выражения (7.29) в соотношения (7.25)-(7.27) позволяет получить асимптотические формулы (6.3), (6.4), (6.6) для разреза типа I.

Таблица 7.1. Коэффициенты интенсивности напряжений

	Бесконечная пластина с центральным разрезом (трещиной), одноосное растяжение распределенной нагрузкой .
	Бесконечная пластина с центральным разрезом (трещиной), одноосное растяжение распределенной нагрузкой , , , .
	Бесконечная пластина с центральным разрезом (трещиной), одноосное растяжение сосредоточенными силами .

Таблица 7.1. Коэффициенты интенсивности напряжений (продолжение)

	Бесконечная пластина с краевым разрезом (трещиной), одноосное растяжение распределенной нагрузкой , .
	Полоса с краевым разрезом (трещиной), одноосное растяжение распределенной нагрузкой , , .
	Полоса с двумя краевыми разрезами (трещинами), одноосное растяжение распределенной нагрузкой , .
	Полоса с центральным разрезом (трещиной), одноосное растяжение распределенной нагрузкой , , .
	Стержень с кольцевым разрезом (трещиной), одноосное растяжение распределенной нагрузкой , , .

Таблица 7.1. Коэффициенты интенсивности напряжений (продолжение)

	Стержень с кольцевым разрезом (трещиной), нагружение крутящим моментом , , .
	Балка с краевым разрезом (трещиной), изгиб сосредоточенной силой. , , .
	Труба с центральным разрезом (трещиной), нагружение внутренним давлением , . , .
	Брус с эллиптическим разрезом (трещиной), одноосное растяжение распределенной нагрузкой , , , , , .

Определение коэффициента интенсивности напряжений для пластины конечных размеров осуществляется посредством решения, полученного для бесконечной пластины, которое модифицируется с помощью некоторых тригонометрических или алгебраических функций – поправочных коэффициентов Y (Y_I, Y_II, Y_III). Эти функции выбираются таким образом, чтобы свести поверхностные усилия – напряжения, нормальные к берегам разреза, к нулю. Методы, на основе которых осуществляется подбор таких функций, называются методами граничной коллокации.