Лекция 6. Напряженное состояние в зоне разрушения

Основным модельным представлениемв механике разрушения является пластина с нарушением сплошности в виде разреза, являющегося концентратором напряжений. Распространение трещин в хрупких телах можно рассматривать как предельный случай концентрации напряжений.

В зависимости от формы разреза, размеров пластины и условий нагружения поля напряжений и деформаций в вершине разреза могут быть получены в результате решения следующих задач теории упругости:

· Задача о концентрации напряжений возле кругового разреза в случае одноосного растяжения (решение Г. Кирша, 1898 г.).

Рис. 6.1. Бесконечная пластина с круглым отверстием

Рассматривается бесконечная пластина с круглым отверстием (рис. 6.1) диаметром 2×а, находящаяся под воздействием одноосного напряжения s. В случае плоского напряженного состояния в полярных координатах при q = p/2 или q = 3p/2 зависимости для тангенциальных s_qq и радиальных s_rr компонентов напряженного состояния имеют вид:

, . (6.1)

Напряжение s_qq достигает максимума, равного s_qq = 3×s, при r = a и минимума, равного s_qq = s,при r = ¥. Напряжение s_rr достигает максимума, равного s_rr = (3/8)×s, при r = ×a и минимума, равного s_rr = 0,при r = ¥.

· Задача о концентрации напряжений возле овального разреза в случае одноосного растяжения (решение Г.В. Колосова и К. Инглиса 1910-1913 гг.).

Рис. 6.2. Бесконечная пластина с овальным отверстием

Рассматривается бесконечная пластина с овальным отверстием (рис. 6.2) с большой и малой полуосями, равными 2×а и 2×b, находящаяся под воздействием одноосного напряжения s. В случае плоского напряженного состояния в полярных координатах тангенциальное s_qq напряжение в вершине овала имеет вид:

где (6.2)

Для механики разрушения наибольший интерес представляет решение задачи о распределении напряжений, деформаций и смещений вблизи фронта трещины, которая может быть представлена в виде идеального бесконечно тонкого эллиптического разрезадлиной l(задачи Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Г. Вестергарда).

В зависимости от типа раскрытия разреза (рис. 6.3) поля напряжений и деформаций в его вершинемогут иметь вид асимптотических формул:

· Для разреза типа I (трещина отрыва). Точки на поверхности разреза смещаются в направлении, перпендикулярном к поверхности разреза.

(6.3)

, (6.4)

; (6.5)

, (6.6)

, ; (6.7)

, (6.8)

, (6.9)

. (6.10)

Рис. 6.3. Напряженное состояние в вершине разреза (трещины)

· Для разреза типа II (трещина поперечного сдвига). Точки на поверхности разреза смещаются поперек передней кромки (фронта) разреза.

(6.11)

, (6.12)

; (6.13)

, (6.14)

, ; (6.15)

, (6.16)

, (6.17)

. (6.18)

· Для разреза типа III (трещина продольного сдвига). Точки на поверхности разреза смещаются вдоль передней кромки (фронта) разреза.

, ; (6.19)

, (6.20)

, (6.21)

; (6.22)

, , (6.23)

. (6.24)

Здесь K_I – коэффициент интенсивности напряжений для трещины отрыва:

; (6.25)

K_II, К_III – коэффициент интенсивности напряжений для трещины поперечного и продольного сдвига:

, . (6.26)

Коэффициенты интенсивности напряжений в механике разрушения играют исключительно важную роль, позволяя описать поля напряжений и смещений в окрестности трещины (разреза) в зависимости от внешних нагрузок, формы разреза и размеров тела.

Вышеприведенные формулы (6.11)-(6.24) были получены для случая плоского деформированного состояния; в случае плоского напряженного состояния нужно заменить m на m/(1+m), а также:

, . (6.27)

Асимптотические формулы (6.11)-(6.24) справедливы в малой окрестности у края разреза, т.е. r должно быть малым по сравнению с характерным линейным размером тела (длиной разреза). Для разрезов произвольного типа все величины K_I, K_II, K_III отличны от нуля.

Вышеприведенные соотношения (6.11)-(6.27) однозначно определяют поля перемещений, напряжений и деформаций вблизи трещин и остроконечных разрезов. Важной составляющей данных выражений является коэффициент интенсивности напряжений, значение которого прямо пропорционально величине действующей нагрузки. Благодаря этой связи коэффициент интенсивности напряжений может быть использован в качестве критерия разрушения упругих тел с трещинами. Однако в инженерной практике встречаются тела размеры, форма и условия нагружения которых существенно отличаются от рассмотренных выше примеров. Важным шагом на пути развития механики разрушения стало развитие методик расчета коэффициентов интенсивности напряжений для тел произвольной формы, при различных схемам нагружения.