Лекция 5. Напряженное состояние в теле. Часть 3

Для оценки прочности конструкции на основе рассчитанных полей напряжений и деформаций следует ввести понятие главных нормальных и касательных напряжений.

Рис. 5.1. Распределение напряжений на гранях элементарного тетраэдра

Через центр параллелепипеда проведем наклонную плоскость (рис. 5.1), положение которой в пространстве определим нормалью υ, направляющие косинусы которой:

, , . (5.1)

Очевидно, что должно выполняться геометрическое условие:

. (5.2)

Напряжение, действующее в этой плоскости, обозначим σ. Тогда сумма проекций всех элементарных сил на ось Х равна:

. (5.3)

Замена переменных dA_xx = dA·l, dA_yy = dA·m, dA_zz = dA·n приводит к тождеству:

. (5.4)

Сумма проекций всех элементарных сил, действующих на грани тетраэдра, на оси Х, Y и Z приводит к системе линейных уравнений:

. (5.5)

Представим систему уравнений (5.5) в виде:

. (5.6)

Эта система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных l, m, n является однородной. Решение ее может быть нулевым, что противоречит известному условию. Ненулевое решение возможно в случае равенства нулю определителя вышеприведенной системы уравнений:

. (5.7)

Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение:

. (5.8)

Здесь коэффициент I₁ – первый инвариант тензора напряжений:

. (5.9)

Здесь коэффициент I₂ – второй инвариант тензора напряжений:

. (5.10)

Здесь коэффициент I₃ – третий инвариант тензора напряжений:

. (5.11)

Коэффициенты I₁, I₂, I₃ не зависят от положения координатных осей(т.е. они инвариантны выбору системы координат), поскольку при любом положении параллелепипеда в пространстве характеристическое уравнение должно давать одни и те же корни.

Известно, что кубическое уравнение (5.8) имеет три корня, причем в рассматриваемом случае эти корни являются действительными. Пронумеруем корни в порядке убывания: σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃. Наибольший корень σ₁ – первое главное нормальное напряжение, средний корень σ₂ – второе главное нормальное напряжение, наименьший корень σ₃ – третье главное нормальное напряжение.

, , , (5.12)

, , (5.13)

. (5.14)

Рис. 5.2. Пространственное расположение плоскостей действия главных касательных напряжений

Подстановка полученных корней в вышеприведенную систему линейных уравнений позволяет определить пространственное положение плоскостей, где действуют главные нормальные напряжения. Детальное исследование показывает, что эти площадки ортогональны друг другу.

На основе главных нормальных напряжений могут быть рассчитаны (рис. 5.2): наибольшее τ₁ – первое главное касательное напряжение, среднее τ₂ – второе главное касательное напряжение, наименьшее τ₃ – третье главное касательное напряжение.

, , . (5.15)

Оценивая прочность конструкции, следует исходить из того, что для пластичных материалов наступление предельного(опасного) состояния связано с появлением интенсивных пластических деформаций, а для хрупких материалов – с хрупким разделением конструкции на части.

Наступление предельного состояния может иметь место при различных предельных значениях главных напряжений и зависит от соотношений между ними. Экспериментально найти величины предельных напряжений не представляется возможным – число возможных сочетаний величин и направлений главных напряжений будет бесконечно велико.

Для решения этой проблемы вводится некоторый критерий прочности или пластичности – гипотезу (предположение) о преимущественном влиянии на прочность материала при сложном напряженном состоянии того или иного фактора, который якобы и ответственен за возникновение опасного состояния материала. Предельное значение этого фактора находится из обычных опытов на растяжение-сжатие. Таким образом, введение критерия прочности (пластичности) позволяет перейти от сложного напряженного состояния к эквивалентному, равноопасному ему простому одноосному растяжению.

Эквивалентное напряжение – это напряжение, под действием которого материал в условиях простого растяжения-сжатия оказывается в равноопас-ном состоянии с рассматриваемым сложным напряженным состоянием.

. (5.16)

Здесь [σ] – опасное напряжение, равное пределу текучести s_Y для пластичных материалов и пределу прочности s_B для хрупких материалов при одноосном растяжении.

Основной задачей, при выработке критерия прочности (пластичности), оказывается правильный выбор основного фактора, влияющего на прочность материала при сложном напряженном состоянии. Основными факторами являются:

· Наибольшее нормальное напряжение(I теория прочности. Критерий Галилея). Причиной течения пластичных материалов или разрушение хрупких материалов считается наибольшее нормальное напряжение.

Полагая эквивалентное напряжение равным наибольшему по модулю (первому) главному нормальному напряжению:

, (5.17)

Примем условие наступления предельного состояния в виде:

. (5.18)

В итоге получим:

. (5.19)

Данная теория прочности в настоящее время практически не используется, так как она подтверждается экспериментами лишь для некоторых очень хрупких материалов (стекло, камень, кирпич, керамика и др.).

· Наибольшая осевая деформация(II теория прочности. Критерий Мариотта). Причиной течения пластичных материалов или разрушение хрупких материалов считается наибольшая по модулю осевая деформация.

В соответствии с физическими уравнениями (4.7) получим:

. (5.20)

Опасные деформации при одноосном растяжении связаны с опасными напряжениями как:

. (5.21)

Полагая эквивалентное напряжение равным:

, (5.22)

Примем условие наступления предельного состояния в виде:

. (5.23)

В итоге получим:

. (5.24)

Данная теория, в настоящее время, редко применяется в инженерной практике, так как находит экспериментальное подтверждение лишь для некоторых достаточно хрупких материалов (легированный чугун, высокопрочная сталь и др.).

· Наибольшее касательное напряжение(III теория прочности. Критерий Треска). Причиной течения пластичных материалов или разрушение хрупких материалов считается наибольшее по модулю касательное напряжение.

В соответствии с выражениями (5.15) запишем:

. (5.25)

Полагая эквивалентное напряжение равным наибольшему по модулю (первому) главному касательному напряжению:

, (5.26)

Примем условие наступления предельного состояния в виде:

. (5.27)

В итоге получим:

. (5.28)

Данная теория прочности хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения σ₂, которое, как показывают эксперименты, также оказывает, хотя и не значительное, влияние на прочность материалов.

· Удельная потенциальная энергия формоизменения(IV теория прочности. Критерий Мизеса). Причиной течения пластичных материалов или разрушение хрупких материалов считается величина удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным телом.

Выберем в объеме тела некоторую точку в окрестности которой выделим элементарный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям X, Y, Z, а их длины равны dx, dy, dz соответственно. Для линейно-упругого изотропного тела удельная потенциальная энергия изменения формы параллелепипеда U_f, равна:

. (5.29)

Полная удельная потенциальная энергия U:

. (5.30)

Удельная потенциальная энергия изменения объема параллелепипеда U_v, равна:

. (5.31)

Средние значения напряжений и деформаций, действующих на гранях параллелепипеда равны:

, . (5.32)

Тогда с учетом (4.7):

. (5.33)

Получим:

. (5.34)

При одноосном растяжении σ₁ = [σ], σ₂ = 0, σ₃ = 0. Тогда эту величину можно принять за константу материала:

. (5.35)

Примем условие наступления предельного состояния в виде:

, (5.36)

С учетом ранее полученных выражений (5.34)-(5.36):

, (5.37)

, (5.38)

Опыты хорошо подтверждают данную теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. При этом четвертая теория более точно, чем третья, описывает появление в материале малых пластических деформаций. По сути дела, эти две теории более правильно называть теориями пластичности.

· Теория Мора. Согласно теории Мора, два напряженных состояния равноопасны, если для соответствующих двух главных напряжений (σ₁', σ₃' и σ₁'', σ₃'') соблюдается соотношение:

. (5.39)

Отсюда вытекает формула для эквивалентного напряжения:

. (5.40)

Здесь коэффициент k представляет собой отношение предельных напряжений при одноосном растяжении σ_s и при одноосном сжатии σ_c:

. (5.41)

Окончательно условие прочности может быть записано как:

. (5.42)

Данная теория прочности позволяет установить сопротивление разрушению материалов, обладающих разными сопротивлениями растяжению и сжатию. Гипотеза Мора (как и III теория прочности) не учитывает влияния промежуточного главного напряжения σ₂ – это несомненный ее недостаток. Опыты показывают, что достаточно точные результаты гипотеза Мора дает для напряженных состояний смешанного типа, то есть для тех случаев, когда σ₁ и σ₃ имеют разные знаки.

Таким образом, для практических расчетовследует рекомендоватьчетвертую (или третью) теории прочности для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, и теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Несомненно, критерии прочности и пластичности играют чрезвычайно важную роль в современной механике разрушений, позволяя оценить прочность конструкции в условиях более или менее равномерного распределения полей напряжений и деформаций. Однако, реальные инженерно-технических сооружения, как правило, содержат концентраторы напряжений(разнообразные выточки, отверстия, разрезы и др.), вносящие существенную неравномерность в характер распределения вышеуказанных полей в объеме тела. Оценить опасность таких концентраторов, посредством вышеприведенных критериев не представляется возможным. Поэтому важным шагом на пути развития механики разрушения стало получение зависимостей позволяющих аналитическим путем рассчитать пиковые значения напряжений вблизи этих концентраторов.