Лекция 4. Напряженное состояние в теле. Часть 2

На основании ранее полученных выражений (3.19) по известным перемещениям могут быть определены соответствующие деформации. Для решения обратной задачи необходимо, чтобы деформации были совместными (рис. 4.1) и удовлетворяли соответствующим условиям.

Рис. 4.1. Тело, разбитое на части сеткой ортогональных прямых, до деформации и после нее

Для случая малых деформаций продифференцируем первые два уравнения в ранее приведенной системе геометрических уравнений (3.19):

. (4.1)

В результате может быть получено выражение вида:

. (4.2)

Составим из трех последних выражений системы геометрических уравнений (3.19) следующее соотношение:

. (4.3)

Дифференцирование обеих частей выражения (4.3):

.(4.4)

Позволяет получить выражение вида:

. (4.5)

На основании установленных закономерностей (4.2) и (4.5) может быть получена система дифференциальных уравнений– система неразрывности деформаций:

. (4.6)

· Физические уравнения – уравнения, отражающие зависимость между напряжениями и деформациями элемента тела.

Для линейно-упругих изотропных тел физические уравнения могут быть представлены в виде системы линейных уравнений:

. (4.7)

Здесь μ – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости при растяжении; G – модуль упругости при сдвиге:

. (4.8)

На основании формул (4.7) и (4.8) по известным напряжениям могут быть определены соответствующие деформации. Для решения обратной задачи может быть использована следующая система уравнений:

. (4.9)

Здесь λ – параметр Ляме:

. (4.10)

Все вышеприведенные соотношения (3.6), (3.9), (3.19), (4.6) были получены для случая трехмерного (объемного) напряженного состояния. В случае двухмерного (плоского) напряженного состояния статические и геометрические выражения могут быть преобразовать к виду:

, , (4.11)

, (4.12)

В процессе преобразования физических уравнения следует помнить, что здесь возможны две принципиально различные ситуации (рис. 4.2):

· Плоское напряженное состояние – характеризуется тем, что боковые грани элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности некоторой точки тела, свободны от напряжений: τ_yz = 0, τ_zx = 0. Напряжение и деформация лицевой грани:

, . (4.13)

, . (4.14)

Такое напряженное состояние испытывают лицевые грани очень тонкой пластины в случае одноосного растяжения. Перемещения по толщине пластины изменяются по линейному закону.

· Плоское деформированное состояние – характеризуется тем, что боковые грани элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности некоторой точки тела, свободны от напряжений: τ_yz = 0, τ_zx = 0. Напряжение и деформация лицевой грани:

, . (4.15)

, . (4.16)

Здесь η – параметр Ляме:

. (4.17)

Такое напряженное состояние испытывают центральные слои очень толстой пластины в случае одноосного растяжения.

Рис. 4.2. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния

Для компактной записи полученных уравнений (3.6), (3.19), (4.6), (4.7) (4.9) механики сплошной среды (для случая трехмерного напряженного состояния) введем следующие обозначения:

o Векторы перемещений, напряжений и деформаций:

, , (4.18)

. (4.19)

o Матрицы дифференцирования:

, . (4.20)

Здесь ¶_xx, ¶_xx², ¶_xy² – условные обозначения операторов дифференцирования:

; ; ; . (4.21)

o Матрицы упругих коэффициентов:

, (4.22)

. (4.23)

o Вектор интенсивности поверхностной и объемной нагрузки:

, . (4.24)

В результате:

или . (4.25)

Из полученных систем уравнений (4.25) видно, что они полностью замкнуты и число уравнений (3 + 6 + 6 = 15) совпадает с числом неизвестных (6 напряжений + 6 деформаций + 3 перемещения = 15 неизвестных).

Сформулируем для полученных систем уравнений условия на поверхности тела – граничные условия, выражающие равновесие между поверхностной нагрузкой и напряжениями в произвольной точке тела. Для этого в прямоугольной декартовой системе координат, в окрестности некоторой точки на поверхности тела, выделим элементарный тетраэдр с размерами dx, dy, dz (рис. 4.3). Ориентацию тетраэдра выберем такой, чтобы его боковые грани были параллельны координатным плоскостям, а основание – совпадало с касательной к поверхности тела в данной точке. Ориентацию основания определим нормалью υ, направляющие косинусы которой:

Рис. 4.3. Распределение напряжений на гранях элементарного тетраэдра

, , . (4.26)

Сумма проекций всех элементарных сил на ось Х равна:

. (4.27)

Замена переменных dA_xx = dA·l, dA_yy = dA·m, dA_zz = dA·n приводит к тождеству:

. (4.28)

Сумма проекций всех элементарных сил, действующих на грани тетраэдра, на оси Х, Y и Z приводит к системе линейных уравнений:

. (4.29)

Или в компактной форме записи:

. (4.30)

Здесь матрица направляющих косинусов:

. (4.31)

На основании полученных систем уравнений (4.25) и граничных условий (4.30), может быть легко решена обратная задача теории упругости: по заданному перемещению точек тела {u} = f(x, y, z) могут быть найдены поля напряжений {σ} = f(x, y, z), деформаций {ε} = f(x, y, z), а также поверхностные {p} = f(x, y, z) и объемные нагрузки {F} = f(x, y, z) действующее на тело. Решение прямой задачи теории упругости: по заданным нагрузкам {p} = f(x, y, z) и {F} = f(x, y, z) найти поля {u} = f(x, y, z) {σ} = f(x, y, z) и {ε} = f(x, y, z) – гораздо более сложный процесс и для его реализации широко используют численные методы.

В целом поля {u}, {σ} и {ε} в объеме тела изменяются равномерно. Важнейшей задачей механики разрушения является оценка прочности нагруженной конструкции по известному распределению вышеупомянутых полей.