Лекция 3. Напряженное состояние в теле. Часть 1

В основе механики разрушения лежит математический аппарат механики сплошных сред, а также базовые положения теории упругости, позволяющие прогнозировать движение деформируемых тел с учетом физико-механических свойств материалов этих тел.

Использование этого аппарата требует введения следующих допущений,связанных с физико-механическими особенностями материала исследуемого тела: согласно гипотезам сплошности, однородности и изотропности материал тела под нагрузкой ведет себя как некий материальный континуум – фиктивная субстанция, непрерывно, сплошным образом заполняющая область пространства ограниченную внешними поверхностями тела.

Рис. 3.1. Распределение напряжений на гранях элементарного параллелепипеда

Для получения уравнений движения деформируемого тела в прямоугольной декартовой системе координат в окрестности некоторой точки тела может быть выделен элементарный параллелепипед с размерами dx, dy, dz (рис. 3.1). Тогда искомые уравнения могут быть разделены на три группы:

· Статические уравнения– уравнения, выражающие условие равновесия этого элемента тела.

Рассмотрим произвольное тело с наложенными на него связями, которое находится под действием поверхностных и объемных сил. Поверхностные нагрузки характеризуются интенсивностями, проекции которых на оси координат p_xx, p_yy, p_zz соответственно. Объемные нагрузки характеризуются интенсивностями, проекции которых на оси координат F_x_x, F_yy, F_zz соответственно.

Выберем в объеме тела некоторую точку, в окрестности которой выделим элементарный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям X, Y, Z, а их длины равны dx, dy, dz соответственно. На гранях параллелепипеда (в ответ на внешнее воздействие) действуют напряжения, которые можно разложить на нормальную составляющую к грани (нормальное напряжение) и касательную (касательное напряжение). Следовательно, на гранях параллелепипеда действует три нормальных и шесть касательных напряжений, совокупность которых образует тензор напряжений:

. (3.1)

Все компоненты тензора напряжений в сплошной среде изменяются от точки к точке и являются непрерывными функциями координат:

, , …, . (3.2)

Данные функции определяют непрерывное поле напряжений в объеме тела и должны удовлетворять некоторым условиям, чтобы каждый элементарный объем тела, заключенный внутри выбранного параллелепипеда в своем взаимодействии с соседними объемами был в равновесии.

Рис. 3.2. Уточненная картина действия напряжений на гранях элементарного параллелепипеда

Для нахождения этих условий необходима уточненная картина действия напряжений на гранях параллелепипеда (рис. 3.2): если на левой грани принять напряжение σ_xx, то на правой грани, имеющей координату x + dx, это напряжение получит приращение, равное частному дифференциалу функции σ_xx по аргументу х:

. (3.3)

Элементарные силы на гранях параллелепипеда могут быть определены, как произведения напряжений или их дифференциалов на площади соответствующих граней.

Сумма проекций всех элементарных сил на ось Х равна:

. (3.4)

Сокращение выражения (3.4) на dx·dy·dz приводит к тождеству:

. (3.5)

Сумма проекций всех элементарных сил на оси Х, Y и Z приводит к системе дифференциальных уравнений – системе статических уравнений:

. (3.6)

Рис. 3.3. Уточненная картина действия напряжений на гранях элементарного параллелепипеда

Сумма моментов элементарных сил, действующих на параллелепипед, относительно оси Z’ (рис. 3.3), проходящей через его центр параллельно оси Z, равна:

. (3.7)

Исключение из выражения (3.7) последних двух слагаемых, как бесконечно малых и сокращение на dx·dy·dz приводит к:

. (3.8)

Аналогичным образом могут быть получены выражения:

, , . (3.9)

Эти выражения отражают закон парности касательных напряжений, который дополняет систему статических уравнений.

· Геометрические уравнения – уравнения, связывающие деформации элемента тела с функциями, выражающими перемещения его точек.

Действующие на гранях элементарного параллелепипеда напряжения приводят к его деформации (рис. 3.4), которая может быть представлена двумя группами непрерывных функций:

, , , (3.10)

, , …, . (3.11)

Первая группа из трех функций определяет перемещение произвольной точки вокруг которой выделен элементарный параллелепипед. Вторая группа из шести функций определяет деформацию граней элементарного параллелепипеда.

Рис. 3.4. Простейшие деформации элементарного параллелепипеда

На гранях параллелепипеда действуют деформации, которые можно разложить на нормальную составляющую к грани (осевая деформация) и касательную (сдвиговая деформация). Следовательно, на гранях параллелепипеда действует три осевых и шесть сдвиговых деформаций, совокупность которых образует тензор деформаций:

. (3.12)

Геометрические уравнения устанавливают зависимости между перемещениями и деформациями.

Для нахождения зависимости между перемещениями и деформациями рассмотрим проекцию параллелепипеда на плоскость XY.

Рис. 3.5. Положение элементарного параллелепипеда до деформации (ABCD) и после нее (A`B`C`D`)

В случае осевой деформации (рис. 3.5): если на левой грани принять перемещение u_xx, то на правой грани, имеющей координату x + dx, это перемещение получит приращение, равное частному дифференциалу функции u_xx по аргументу х:

. (3.13)

Осевая деформация параллелепипеда вдоль оси X равна:

, . (3.14)

В случае сдвиговой деформации (рис. 3.6): перемещение параллелепипеда можно рассматривать как последовательную совокупность поступательного перемещения, определяемого функциями u_xx, u_yy,и сдвига, определяемого функциями γ_xy, γ_yx.

Исходя из закона парности касательных напряжений (3.9), а также из геометрических соображений можно установить:

. (3.15)

Углы поворота граней параллелепипеда могут быть определены как:

, . (3.16)

Ввиду малости деформаций можно записать:

, . (3.17)

Сдвиговая деформация параллелепипеда в плоскости XY равна:

. (3.18)

Рис. 3.6. Положение элементарного параллелепипеда до деформации (ABCD) и после нее (A`B`C`D`)

Исследование деформации проекций параллелепипеда на плоскости XY, YZ и ZX приводит к системе дифференциальных уравнений – системе геометрических уравнений:

. (3.19)

Данные уравнения устанавливают взаимосвязь между перемещениями произвольной точки, вокруг которой выделен элементарный параллелепипед и деформациями его граней.