Пример.

В.Гюго

Ф.Бэкон

Теплопроводность охлаждающего ребра

Задачи.

Решение.

Используем формулу для температуры в середине щели

.

Известно, что максимальная скорость жидкости на оси в два раза больше средней. Можем записать

.

Имеем существенное повышение температуры, поэтому есть опасность подвулканизации резиновой смеси.

1. Если в условиях рассмотренного примера сохраняя расход жидкости, уменьшить высоту щели. Как изменится саморазогрев?

2. Сформулировать краевую задачу в случае течения степенной жидкости.

Над природой властвуют, только подчинившись ей.

Наблюдать море – значит размышлять.

Рассматриваемая задача имеет место в лопатках турбины, края которых перегреваются протекающими газами, а теплоотвод осуществляется к основанию ребра. Кроме того, двигатели и тепловыделяющие элементы радиоаппаратуры (транзисторы, микросхемы) снабжаются радиаторами. Оребрение целесообразно со стороны теплоносителя с низким коэффициентом теплоотдачи.

Теплообмен на поверхности ребра охлаждающего радиатора осуществляется по механизму теплообмена с окружающим воздухом. Внутри ребра радиатора тепло передается за счет теплопроводности. Задача состоит в определении распределения температуры по длине ребра и величины теплового потока у основания ребра.

Пусть ребро имеет прямоугольное сечение, постоянное по длине. Коэффициент теплопроводности материала ребра и коэффициент теплоотдачи от поверхности постоянны. Тепловой поток направлен только вдоль ребра (одномерен). Теплообмен стационарен. При этом распределение температуры будет зависеть только от продольной координаты.

Расчетная схема процесса представлена на рис. 2.3. Сечение ребра а´в. Длина ребра . Температура у основания ребра Т_о. Температура окружающей среды Т_с. Текущая температура Т.

Выделим участок ребра, длиной dx и составим уравнение теплового баланса для элементарного параллелепипеда a´b´dx

Q_x=dQ_п+Q_x+dQ_x,

где dQ_п- элементарный поток тепла от боковой поверхности, Q_x- осевой тепловой поток. Таким образом, имеем следующее уравнение теплового баланса

dQ_п +dQ_x=0.

Запишем потоки тепла в развернутой форме. Осевой поток тепла в теле ребра определяется законом Фурье

.

На боковой поверхности теплообмен описывается законом Ньютона

.

Подставив потоки тепла в уравнение теплового баланса, получим уравнение для температуры

.

Запишем это уравнение так

.

Для компактности выражений и удобства анализа введем безразмерные переменные и параметры

, , .

В безразмерной форме уравнение теплового баланса примет вид

.

Его решение имеет вид

q=С₁sh(AX)+C₂ch(AX),

где sh(AX), ch(AX), - гиперболический синус и косинус.

Постоянные интегрирования найдем из граничных условий. Первое граничное условие – температура у основания ребра

х=0, Т=Т_о,

или в безразмерных переменных

Х=0, q=1.

Второе граничное условие – отсутствие теплового потока на свободном конце ребра

х=, ,

или

Х=1, .

Из первого граничного условия имеем С₂=1. Соответственно, из второго граничного условия имеем

.

Следовательно, распределение безразмерной температуры по длине ребра описывается выражением

q=-th(A)sh(AX)+ch(AX).

Безразмерная температура конца ребра

q(Х=1)=-th(A)sh(A)+ch(A)=[(ch²(A)-sh²(A)]/ch(A)=1/ch(A).

Здесь использовалось соотношение ch²(A)-sh²(A)=1.

Расход тепла у основания ребра находится с помощью закона Фурье

.

Если подставить в это выражение дифференциал безразмерной температуры, то получим

.

Из полученного выражения видно, что при Т_о>Т_с тепловой поток отрицательный, и окружающая среда охлаждает ребро. Наоборот, при Т_о<Т_с тепловой поток положительный, и окружающая среда нагревает ребро.

Найти отводимый поток тепла радиатором, состоящим из 10 ребер размерами a´b=3´10 см. Длина ребер 10 см, материал – медь (λ=390 Вт/мК), коэффициент теплоотдачи α=20 Вт/м²К, температура у основания ребра

80 ^оС, окружающего воздуха 20 ^оС.

Решение.

Используем формулу

.

Предварительно найдем параметр А

Подставив в формулу, получим

.

Гиперболический тангенс находился по формуле

.