Пример.

Гете

Нестационарная теплопроводность пластины

Задачи.

1. Для условий примера найти температуру на конце ребра.

2. Как изменится интенсивность теплоотвода, если радиатор изготовить из алюминия?

Сущее не делится на разум без остатка.

Рассматриваемая задача связана с процессом прогрева или охлаждения бесконечной пластины. Полученные результаты могут использоваться при расчете процессов формования плоских полимерных заготовок методом литья под давлением, прогрева резиновых изделий в форме и т.п. процессов нестационарной теплопроводности.

Расчетная схема теплообмена представлена на рис. 2.4. На поверхности вертикальной пластины имеет место теплообмен по закону Ньютона, что соответствует граничным условиям 3-го рода. Коэффициент теплоотдачи на наружной стороне пластины a. Вектор теплового потока одномерен. Внутренние источники тепла отсутствуют. Теплофизические свойства материала пластины постоянны. Полутолщина пластины d. Начальная температура пластины Т_о. Температура окружающей среды Т_с. Коэффициент теплопроводности пластины l. Согласно принятым допущениям краевая задача описывается уравнениями

Здесь первое уравнение – уравнение теплопроводности Фурье-Кирхгофа, вторая строчка - начальное условие для температуры, третья строчка – условие симметрии, четвертая строчка – граничное условие на поверхности (условие третьего рода). Введем безразмерные переменные и параметры

, .

Здесь Q - безразмерная температура, Х – безразмерная координата, Fo – число Фурье (безразмерное время). В безразмерной форме задача имеет вид

,

,

,

.

Точное решение этой задачи можно получить, например, методом Фурье. Однако оно получается в виде бесконечных рядов, вычисление которых представляет определенные трудности. Поэтому получим приближенное решение задачи, вполне пригодное для инженерного анализа процессов нестационарной теплопроводности.

Решение задачи ведем методом Галеркина – методом ортогональных проекций. Ищем решение в виде произведения двух функций: первой, зависящей от числа Фурье, второй – от координаты

.

В этом выражении постоянные, являющиеся параметрами координатной функции, а и b определяются методом неопределенных коэффициентов, так чтобы эта функция удовлетворяла граничным условиям. Первому граничному условию координатная функция удовлетворяет автоматически. Подстановка во второе граничное условие дает алгебраическое уравнение для неизвестных коэффициентов

.

Откуда получаем следующую связь между коэффициентами

.

Следовательно, с точностью до постоянного множителя, можем записать для безразмерной температуры приближенное выражение

.

Условие ортогональности невязки к координатной функции имеет вид

,

где - дифференциальный оператор от координатной функции.

В развернутой форме невязка имеет вид

.

Штрих означает производную по числу Фурье.

Соответственно, условие ортогональности в развернутой форме имеет вид

.

Выполнив интегрирование, получим дифференциальное уравнение первого порядка для неизвестной функции

.

Разделим переменные и проинтегрируем с учетом начального условия для неизвестной функции А

.

Получим следующую зависимость для функции А

,

или

.

Неизвестную постоянную А_о найдем из начального условия, записанного в интегральном виде. Т.е. заменим условие однородности начальной температуры F₀=0, =1 на условие F₀=0, . При этом получим следующее выражение для неизвестной постоянной

.

Таким образом, получили расчетное выражение для определения температуры любой точки пластины в любой момент времени. Форма выражения позволяет рассчитывать температуру для заданного момента времени или найти момент времени, соответствующий достижению какой-либо заданной температуры. Можно описывать процессы прогревания и охлаждения.

В случае высокой интенсивности теплообмена на поверхности (большой коэффициент теплоотдачи и большое число Био) граничное условие третьего рода можно заменить граничным условием первого рода. Для этого достаточно в расчетных выражениях принять их предел при увеличении числа Био до бесконечности. В этом случае расчетное выражение для безразмерной температуры будет иметь вид

.

Соответственно, выражение для функции А примет вид

.

Методом выдувного формования получают бутылку. Материал – полиэтилен. Коэффициент температуропроводности 10⁷ м²/с. Толщина стенки 2 мм. Считая, что на свободной поверхности теплообмен отсутствует, найти время охлаждения от начальной температуры 160 ^оС до 60 ^оС (на поверхности). Температура стенки формы 20 ^оС.