Г. Клейст

Ж.Ж. Руссо

Диссипативный саморазогрев жидкости в условиях простого сдвига

ГЛАВА 2. ОТДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Задачи.

Решение.

Пример.

Давление жидкости внутри цилиндрического фильтрующего элемента 3 ат. Размеры фильтра: длина 10 см, наружный диаметр 8 см, внутренний 2 см. Найти расход воды (вязкость 10^–3 Па^.с), если коэффициент проницаемости материала фильтра 10^-12 м².

Воспользуемся формулой

.

Поскольку отношение радиусов равно отношению диаметров, можем непосредственно подставить численные значения

.

1. Изменится ли расход жидкости в рассмотренном примере, если при прочих равных условиях фильтр будет иметь наружный диаметр 4 см, а внутренний 1 см?

2. Можно ли пользоваться полученными формулами, если давление снаружи будет больше, чем внутри?

Мое дело сказать правду, а не заставлять верить в нее.

Я не устану робость проклинать!

Этот вид течения имеет место в подшипниках скольжения в отсутствии

радиальной нагрузки. Повышение температуры может привести к перегреву и термической деструкции смазки. Механическая энергия деформации вязкой жидкости превращается в тепло. Расчетная схема и система координат представлены на рис. 2.1. При малых радиальных зазорах между коаксиальными цилиндрами можно считать, что в зазоре реализуется простой сдвиг. При этом поле скоростей в зазоре линейное (см. гл. 1.7).

Окружная скорость поверхности вала определяется выражением . Внутренняя поверхность наружного цилиндра – неподвижная.

Рассмотрим стационарное температурное поле в зазоре, пренебрегая изменением вязкости с температурой. Поле скоростей описывается линейной функцией .

Как поле скоростей, так и поле температур не изменяются во времени. Задача стационарна. Теплофизические свойства жидкости постоянны. Продольной теплопроводностью пренебрегаем, учитываем только радиальную теплопроводность. Поле температур описывается уравнением Фурье - Кирхгофа

, .

Уравнение энергии учитывает теплопроводность (первый член справа) и диссипативное тепловыделение (второй справа). Вторая формула – закон Ньютона для касательного напряжения в вязкой жидкости.

Для температурного поля в жидкости принимаем граничные условия 1^го рода

y=0, T=T_c, y=d, T=T_c.

Т.е. температура жидкости у стенки равна температуре стенки.

Подставив закон Ньютона в уравнение Фурье-Кирхгофа, получим дифференциальное уравнение второго порядка для температуры

.

С учетом выражения для осевой скорости, имеем

.

Умножив обе части этого уравнения на dy, проинтегрируем

.

Повторное интегрирование дает

. (2.1)

Постоянные интегрирования находим из граничных условий. Из первого граничного условия следует

.

Используя второе граничное условие, можем записать

.

Откуда

.

Подставим найденные значения с₁ и с₂ в уравнение (2.1)

.

Следовательно, распределение температуры жидкости в поперечном сечении канала описывается квадратичной параболой

. (2.2)

Найдем максимальную температуру. Из условия симметрии следует . Подставляя это значение в формулу (2.2), получим

.

Приращение температуры определяется вязкостью жидкости, квадратом скорости и теплопроводностью жидкости. Видно, что максимальная температура не зависит от величины зазора. Это объясняется тем, что, например, с увеличением зазора возрастает термическое сопротивление слоя жидкости, однако интенсивность тепловыделения снижается (уменьшается градиент скорости сдвига).

Более точное решение задачи можно получить, если учесть зависимость вязкости жидкости от температуры по закону Аррениуса

.

Но в этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности становится нелинейным, и его решение связано со значительными техническими трудностями.