Л. Толстой

Фильтрация через пористую цилиндрическую стенку

Задачи.

Решение.

Воспользуемся формулой

.

Откуда для коэффициента проницаемости можем записать

.

Учитывая формулу для скорости фильтрации

,

запишем

.

Подставим численные значения параметров

.

1. Найти расход жидкости, протекающей через пористую пластину площадью 10 см², если ее коэффициент проницаемости К=10^-10 м², вязкость жидкости 10^-3 Па^.с, толщина пластины 5 мм и перепад давления 10 ат.

2. Во сколько раз возрастет расход жидкости, если давление фильтрации увеличить в 2 раза?

Сжечь все то, чему поклонялся, поклониться тому, что сжигал.

Схема течения представлена на рис. 1.24. Имеется полый цилиндр. Пусть давление внутри цилиндра больше чем давления снаружи. Требуется найти расход жидкости в зависимости от перепада давления. Компоненты скорости в окружном и осевом направлении равны нулю . Следовательно, уравнение неразрывности для одномерного случая имеет вид

,

отсюда следует

.

Входящая в это выражение постоянная находится из условия постоянства расхода

,

где – длина цилиндра.

С учетом выражения для радиальной скорости на внутренней поверхности цилиндра, можем записать

.

Откуда, для постоянной интегрирования имеем

.

Для определения распределения давления по толщине стенки P(r) используем закон Дарси

.

Подставим в это уравнение выражение для радиальной скорости

.

Имеем дифференциальное уравнение первого порядка для давления. Разделим переменные и проинтегрируем с учетом граничного условия r=r₁, P=P₁. Имеем

.

Объемный расход жидкости Q найдем, используя граничное условие r=r₂, P=P₀,

.

Откуда расход жидкости

.

Распределение давления по толщине стенки описывается выражением

.

Здесь использовалось следующее вышенайденное выражение для постоянной

.

Видно, что в отличие от плоской стенки, распределение давления в цилиндрической стенке нелинейное (см. рис. 1.24 б). Если толщина цилиндрической стенки значительно меньше ее радиуса, то кривизной стенки можно пренебречь, и рассматривать ее как плоскую с линейным распределением давления.