Пример.

М. Горький

Задачей расчета фильтрации является определение зависимости расхода жидкости от перепада давления. Для решения задач фильтрации последовательно используются уравнение неразрывности и закон Дарси. Схема фильтрационного движения жидкости через плоскую стенку представлена на рис. 1.23. Фильтрационный поток одномерен, поэтому для

компонент скорости имеем u_y=u_z=0. Следовательно, уравнение неразрывности в прямоугольных координатах имеет вид

.

Из этого уравнения можно сделать вывод, что осевая компонента скорости постоянна

С другой стороны, согласно закону Дарси,

.

Граничные условия задачи состоят в задании давлений на поверхностях пористой пластины

х=0, Р =Р₁,

х=d, Р =Р₀ , (Р₁>P₀).

В уравнении Дарси разделим переменные и проинтегрируем, учитывая, что u_х= const

.

Имеем линейную зависимость давления от координаты

.

Скорость u_х неизвестна. Найдем ее, используя граничное условие х =d, Р=Р₀,

.

Откуда

.

Расход равен произведению скорости на площадь сечения стенки

,

где Н- высота стенки, В – ширина стенки. Подставив выражение для скорости, имеем

.

Распределение давления в стенке найдем следующим образом. Для скорости имеем

.

С другой стороны

.

Из совместного рассмотрения этих зависимостей получаем линейное распределение давления по толщине стенки

.

Отметим, что полученное выражение для расхода жидкости может быть использовано для экспериментального определения коэффициента проницаемости

.

Найти коэффициент проницаемости плоской пористой стенки толщиной 3 мм при фильтрации воды (вязкость 10^-3 Па^.с). Площадь поверхности 5 см², расход жидкости 0,5 мл/с, перепад давления 10⁵ Па.