Течение в трубе эллиптического сечения

Леонардо да Винчи.

Установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрическим и призматическим трубам

Задачи.

Решение.

Пример.

Трубчатый абсорбер состоит из 100 вертикальных труб, внутренним диаметром 30 мм. Какой должен быть расход абсорбента для обеспечения на внутренней стенки каждой трубы слоя жидкости толщиной 2 мм? Вязкость абсорбента μ=2^.10^-3 Па^.с, плотность ρ=1100 кг/м³.

Требуемый расход жидкости в одной трубе определяется формулой

.

Ширина пленки В равна периметру кольцевого сечения стекающей пленки

.

Подставив в расчетную формулу численные значения, найдем расход жидкости в одной трубе

.

Поскольку трубок 100 штук, то общий расход абсорбента составит

.

1. Как изменится толщина пленки в каждой трубке (в условиях рассмотренной задачи), если расход абсорбента увеличить в 2 раза?

2. Как измениться толщина пленки жидкости, если жидкость охладить (повысить ее вязкость)?

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.

Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой жидкости является так называемое ламинарное (слоистое) движение по цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии тока – прямые линии, параллельные оси трубы. Этот вид движения жидкости достаточно распространен в технике и имеет важное значения для расчета технологического оборудования и трубопроводов.

Из всех истинных наук наши математические науки наиболее истинны и имеют первую степень достоверности и им следуют все другие естественные науки.

Лука Пачоли

Сечение трубы представляет эллипс с полуосями a и b, уравнение которого в плоскости xOy будет

.

Решение уравнения движения

,

удовлетворяющее граничному условию обращения в нуль на контуре сечения, будет

,

где, согласно уравнению движения, постоянная А определяется из условия

и будет равна

.

Здесь DR - перепад давления на концах трубы, l-длина трубы.

Таким образом, получим распределение скорости в сечении эллиптической трубы в виде

.

Эпюрой векторов скорости будет служить поверхность эллиптического параболоида, кривыми одинаковой по величине скорости – изотахами – подобные друг другу эллипсы (с одинаковым отношением полуосей).

Найдем максимальную по сечению скорость на оси трубы (x=0, y=0)

,

после чего распределение скоростей может быть переписано в виде

v_max.

Определим объемный секундный расход Q сквозь сечение эллиптической трубы. Имеем

.

Среднюю скорость v_ср определим как отношение объемного секундного расхода Q к площади сечения трубы S=πab; получим

.

Средняя скорость равна половине максимальной. Эта закономерность сохраняется и в частном случае цилиндрической трубы круглого сечения.

Полагая в предыдущих формулах b=a, получим основные формулы ламинарного течения сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения. Распределение скоростей имеет вид (а – радиус трубы, x²+y²=r²)

v_max,

где .

Эпюрой скорости в этом случае является параболоид вращения с меридианным сечением в виде параболы, называемой обычно параболой Пуазейля по имени французского врача и физиолога, исследовавшего законы движения крови по капиллярным сосудам и опубликовавшего результаты своих работ в докладах Парижской Академии наук в 1940 г.

Объемный секундный расход равен

и выражает известный закон Пуазейля.

. Расход пропорционален четвертой степени радиуса (диаметра) трубы. Это обстоятельство имеет значение в вопросах прогонки жидкостей сквозь трубы малого диаметра (например, капиллярные трубки, капиллярные кровеносные сосуды и т.п.) а также в случае движения очень вязких жидкостей.

1.6.2. Течение вязкой жидкости в плоской щели

Золото испытывается огнем, а дарование математикой.