Леонардо да Винчи

Пифагор.

Истечение высоковязкой жидкости из сосуда

Задачи.

Решение.

Используем формулу

.

Учитывая, что сосуд и отверстие имеют круглую форму, расчетную формулу можно записать следующим образом:

.

Подставив численные значения, найдем время полного слива

.

1. В бензобак вертолета попала пуля. Бак имеет форму параллелепипеда размерами 0,3х1х0,5 м (высота h=0,5), он заполнен бензином наполовину. Диаметр отверстия d=9 мм. Приняв коэффициент расхода α=0,6, найти время полного опорожнения бензобака.

2. Требуется из цилиндрического сосуда изготовить водяные часы. Диаметр сосуда 10 см., начальный уровень воды 0,3 м, коэффициент расхода 0,63. Ожидаемое время полного слива 5 минут. Найти требуемый диаметр отверстия.

Число лежит в основе вселенной.

Сила рождается из ограничений, а свобода ее губит.

Полученные выше расчетные выражения правомерны только в случае течения маловязких жидкостей в турбулентном режиме (т.е. при больших числах Рейнольдса). Формулой Торричелли можно пользоваться лишь при больших числах Рейнольдса. В случае значительной вязкости жидкости коэффициент расхода непостоянен и зависит от критерия Рейнольдса.

Выше было показано, что объемный расход жидкости при истечении из открытого сосуда определяется формулой

.

При этом для турбулентного режима мы полагали постоянное значение коэффициента расхода a=const » 0,63. В широком интервале чисел Рейнольдса экспериментально установлена следующая зависимость a(Re), которая представлена на рис. 1.5. Для Re<50, что соответствует ламинарному течению высоковязкой жидкости, зависимость носит линейный характер и аппроксимируется формулой a=Re/25,2. Соответственно, область непосредственного использования формулы Торричелли (с a=const, горизонтальный участок линии рис. 1.5) ограничена значениями Re>50.

Рассмотрим истечение высоковязкой жидкости конечного объема из сосуда с отверстием в дне. Условие равенства элементарных объемов (см. предшествующую задачу) записывается

,

где , - число Рейнольдса для условий слива. Отметим, что в качестве характерной скорости в числе Рейнольдса используется скорость слива по Торричелли.

Таким образом, для скорости истечения в ламинарном режиме можно записать

.

Соответственно, дифференциальное уравнение сохранения объема жидкости, примет вид

.

Разделим переменные и проинтегрируем, с учетом начального условия t=0, h=h₁

.

В результате интегрирования находим время слива

.

Согласно полученному выражению время слива пропорционально вязкости жидкости (m). Для сокращения времени слива достаточно, например, жидкость подогреть. Необходимо отметить, что при полном сливе h₂=0, t®¥. Полученное решение имеет ограничение, поскольку при малых уровнях жидкости происходит прорыв мениска и картина течения существенно меняется.

Если над поверхностью жидкости избыточное давление (сосуд закрытый P>P_атм) то время слива сокращается, и расчетная формула приобретает вид

.

Пределы применяемости полученных формул определяются неравенством .