Пример.

Лука Пачоли.

Истечение при переменном уровне

Задачи.

Пример.

Найти расход воды, вытекающей из емкости, если уровень жидкости h=2м, диаметр отверстия d=2 см., коэффициент расхода α=0,97.

Решение.

Используем расчетную формулу

.

Сечение отверстия

.

Подставив в формулу численные значения, получим

.

1. Найти диаметр сливного отверстия в емкости, если расход жидкости V=5*10^-4 м/с, высота уровня жидкости h=1 м, коэффициент расхода 0,6.

2. Как изменится уровень жидкости, если расход увеличить в два раза?

Число является универсальным ключом, одновременно открывающим доступ к истине и красоте.

Требуется определить продолжительность слива жидкости от уровня h₁ до h₂ (см. Рис. 1.4 б). Сосуд был предварительно заполнен и приток жидкости сверху отсутствует. Поскольку уровень жидкости непрерывно меняется, то скорость истечения будет изменяться: наибольшая в начале слива и наименьшая – в конце.

Выделим в жидкости участок толщиной dh. Составим уравнение расхода для выделенного участка. Его элементарный объем -dh_*F. С другой стороны, объём вытекающей жидкости за время dt составляет

,

где F – площадь сечения сосуда, t- время.

Приравняв эти выражения, получим дифференциальное уравнение первого порядка, связывающее уровень жидкости и время

.

Разделим переменные и проинтегрируем с учетом начального условия

.

После несложных преобразований получим выражение для расчета продолжительности слива

.

В случае полного опорожнения сосуда необходимо положить h₂=0. При этом расчетная формула примет вид

.

Если сосуд имеет форму, отличную от цилиндрической, например, коническую, то необходимо при интегрировании учитывать функциональную зависимость площади поперечного сечения от высоты, и расчетное уравнение будет иметь другой вид.

Сколько времени потребуется для полного опорожнения цилиндрического сосуда диаметром D=1 м, если уровень жидкости h=1 м, диаметр сливного отверстия d=1 см, коэффициент расхода α=0,6?