Пример.

В.Гюго

Реологические уравнения

Искусство – это я,

наука – это мы.

Для описания течений материалов необходимо знать зависимость их текучих свойств от приложенных напряжений. Указанная зависимость позволяет рассчитывать потребляемую мощность (или затраты энергии) при движении жидкости.

Наиболее распространен и давно применяется ньютоновский закон течения для так называемых ньютоновских или вязких жидкостей

,

где t - касательное напряжение, m- вязкость, - скорость сдвига. Часто скорость сдвига обозначают так: =g.

Свойства большинства жидкостей отличаются от ньютоновского закона. Реологические свойства изучают с помощью вискозиметров.

При этом обычно организуют течение простого сдвига, сущность которого поясняется на рис. 1.1.

Реологические свойства жидкостей представляют графически с помощью «кривой течения» - зависимости касательного напряжения t от скорости сдвига g (см. рис. 1.2). Для описания аномальных свойств предложена и широко используется в инженерных приложениях «степенная жидкость» или жидкость Оствальда- де Виля, имеющая следующее уравнение

,

где n- индекс течения жидкости, m₀ - реологическая константа.

В зависимости от численного значения индекса течения, различают: n<1 -псевдопластики (большинство полимеров, резиновые смеси и т.д.). С увеличением скорости деформации эффективная вязкость таких жидкостей снижается, n=1- ньютоновские жидкости (низкомолекулярные жидкости: вода, керосин, глицерин, спирт, но не растворы и расплавы полимеров), их вязкость постоянна в изотермических условиях течения с любой скоростью деформации, n>1- дилатантные жидкости. У этих жидкостей с увеличением скорости деформации вязкость повышается. Встречаются редко. В качестве примера дилатантной среды – мокрый песок.

Кроме того, достаточно распространены вязкопластические тела Бингама, которые иногда называются средой Шведова - Бингама. К ним относятся высоконаполненные системы, например, зубная паста, краска, сметана, наполненные полимеры, резина и т.д. Реологическое уравнение для таких систем имеет вид

t>t₀, t=t₀+mg ,

t<t₀, g=0,

где t₀-начальное напряжение сдвига, m- пластическая вязкость. Течение таких систем начинается (g¹0) когда напряжение сдвига превышает некоторое значение t₀ При меньших напряжениях течение отсутствует (g=0).

Если предел текучести равен нулю (t₀=0), то модель Шведова-Бингама переходит в ньютоновскую.

Можно степенной закон записать в «ньютоновской» форме

,

где m_эф= -эффективная вязкость степенной жидкости, справедливая только в узком диапазоне скоростей деформаций. Такая запись используется для упрощенного решения задач течения аномальных жидкостей в перерабатывающем оборудовании (валках, шнеках, каландрах и др.)._.

В табл. 1.1 представлены теплофизические и реологические свойства наиболее распространенных полимеров, необходимые для технологических расчетов. В скобках указаны температуры, при которых измерены параметры.

В зависимости от вязкости материала применяется различное перерабатывающее оборудование. Так, роторные смесители – для материалов с вязкостью 7-1000 Па.с, шнековые – для 2-1000 Па.с, валковые – для 10-10000 Па.с.(имеется ввиду эффективная вязкость).

В условиях переработки большинство полимеров ведет себя как аномально-вязкие (псевдопластические) жидкости. Наиболее простой зависимостью, связывающей напряжения сдвига τ с градиентом скорости деформации γ, является степенной закон или закон Освальда-де Виля

τ =μ_оγⁿ,

где μ_о- коэффициент консистентности, Па.сⁿ, n – индекс течения (зависят от типа полимера и температуры).

Таблица 1.1

Ориентировочные технологические свойства полимеров

При инженерных расчетах широко используют эффективную вязкость μ_эф, которая определяется так:

μ_эф=μ_oγ_с^n-1,

где γ_с – среднее значение градиента скорости сдвига (см. табл.1.1). При этом степенной закон превращается в ньютоновский

τ=μ_эфγ.

Это открывает возможность использовать ньютоновское приближение для расчетов течения материала в перерабатывающем оборудовании. Следует отметить, что вопрос о среднем значении градиента скорости сдвига γ_с достаточно сложен и μ_эф сильно отличается от параметра μ_о.

Если имеет место неизотермическое течение, то необходимо учитывать зависимость текучих свойств жидкости от температуры. Широко используется закон Аррениуса

,

где Е – энергия активации вязкого течения (см. табл. 1.1), R=8,3 Дж/моль – универсальная газовая постоянная, μ_о- вязкость (или показатель консистенции) при температуре Т_о. Используются абсолютные температуры в градусах Кельвина.

Найти эффективную вязкость резины при ее переработке на экструдере, если реологические константы степенной модели μ_о=10⁵ Пасⁿ, n=0,25. Средний градиент скорости γ=100 с^-1.