ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
В. М. Шаповалов
Волгоград
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ Российской Федерации
ВолжскИЙ политехнический институт (ФИЛИАЛ)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Учебное пособие
РПК “Политехник”
Волгоград
Рецензенты:
кафедра математики Волжского филиала МЭИ,
канд. техн. наук, доц. кафедры математики ВГИ ВолГУ И. Ю. Мирецкий,
канд. техн. наук, доц. Волжского филиала МЭИ А.И. Грошев
Шаповалов В. М.
математическоЕ моделированиЕ процессов переноса: Учебное пособие / ВолгГТУ. - Волгоград, 2004- 183 с.
ISBN 5-230-
Представлено основное содержание курса лекций «Математическое моделирование процессов переноса». Структура и методическое содержание пособия соответствует разделам программы. Представлены математические модели процессов переноса тепла, массы. Уделено внимание простоте, наглядности и доступности представленных математических моделей.
Учебное пособие предназначено для обучения студентов дневной формы по направлению 5518 “Технологические машины и оборудование”.
Ил. 51. Табл. 1. Библиогр: 22 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
ISBN 5-230-03919-1 Ó Волгоградский
государственный
технический
университет, 2004
СОДЕРЖАНИЕстр.
Введение……………………………………………………………………6
Вводная лекция…………………………………………………………….7
Глава 1. Моделирование отдельных задач гидродинамики…….… 12
1.1. Реологические уравнения……………………………………………..12
1.2. Истечение жидкости из отверстия в дне сосуда……………..……...17
1.3. Истечение при переменном уровне………………………..…….…..20
1.4. Истечение высоковязкой жидкости из сосуда………………………22
1.5. Течение жидкости по вертикальной поверхности………..…………25
1.6. Установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости
по цилиндрическим и призматическим трубам……….…..………..28
1.6.1. Течение в трубе эллиптического сечения…………….…………28
1.6.2. Течение вязкой жидкости в плоской щели………………………31
1.6.3. Совместное течение двух несмешивающихся жидкостей
в плоском канале (стратифицированное течение)……………………34
1.6.4. Аксиальное течение вязкой жидкости в кольцевом канале……39
1.6.5. Напорное течение вязкой жидкости в прямоугольном канале...44
1.6.6. Течение степенной жидкости в плоской щели………….………49
1.6.7. Течение среды Бингама в круглой трубе…………………..….…53
1.7. Течение в кольцевом зазоре
при поступательном движении внутреннего цилиндра…………………57
1.8. Сдвиговое течение вязкой жидкости в клинообразном зазоре…..…61
1.9. Течение вязкой жидкости в коаксиальном зазоре
при вращении одного из цилиндров. ………………………………….…66
1.10. Фильтрация через неподвижные пористые слои. Закон Дарси……70
1.10.1. Фильтрация через плоскую пористую стенку…………….…..72
1.10.2. Фильтрация через пористую цилиндрическую стенку………65
Глава 2. Отдельные задачи теории теплопроводности………….……79
2.1. Диссипативный саморазогрев жидкости
в условиях простого сдвига………………………………………..…79
2.2. Диссипативный саморазогрев при напорном течении
вязкой жидкости в плоской щели…………………………..…….....83
Приложение 1. Основные уравнения и формулы…..……………………..126
Приложение 2. Фрагмент выпускной бакалаврской работы Журбенко С.В.
на тему «Расчет потребляемой мощности мешалки» ……………...128
Приложение 3. Фрагмент выпускной бакалаврской работы Митиной А.В.
на тему «Процесс грануляции сульфенамида»……………………...134
Приложение 4. Фрагмент выпускной бакалаврской работы
Приваловой Ю.В. на тему «Теплообмен при переработке
резиновых смесей в периодическом смесителе»……………….…142
Приложение 5. Фрагмент выпускной бакалаврской работы Мандрона А.О.
на тему «Аналитическое исследование тепловыделения
в межвалковом зазоре при измельчении резины»………………....148
Приложение 6. Фрагмент выпускной бакалаврской работы
Шахминой Е.В. на тему «Построение математической модели
течения материала в резиносмесителе «Бенбери»»….………..……….154
Приложение 7. Фрагмент выпускной бакалаврской работы Супруна А.И.
на тему «Математическая модель червячного водоотделителя»….162
Приложение 8. О гидродинамическом равновесии шарика
в изогнутой трубке………………………………………………….…...174
ВВЕДЕНИЕ
Пособие состоит из двух частей и приложений. В первой части представлено решение задач гидродинамики, тесно связанных с инженерными проблемами течения ньютоновских и неньютоновских жидкостей в каналах и аппаратах химической технологии. Во второй части представлен ряд задач теплопроводности, которые также тесно связаны с технологическими процессами, в частности, с нестационарным нагревом и охлаждением полимерных изделий. Представлен новый современный вариант решения классической задачи Нуссельта о пленочной конденсации. Дан упрощенный вариант решения задачи одномерной нестационарной диффузии в бесконечной пластине. В конце каждой модели приведены примеры решения конкретных инженерных задач, а также задачи для самостоятельного решения. В приложении приведены основные уравнения тепло- массопереноса, используемые при формулировке краевых задач. Кроме того, представлены некоторые (неопубликованные) математические модели, разработанные студентами при выполнении выпускных бакалаврских работ.
Автор благодарен преподавателю кафедры «ВТМ» Харитонову В.Н., бескорыстно потратившему много времени на компьютерное оформление иллюстраций, которые способствуют пониманию сущности рассматриваемых краевых задач. Необходимо выразить благодарность студентам, давшим разрешение на использование в пособии материалов выпускных работ.
Вводная лекция
Из истории. По определению средневекового итальянского математика Луки Пачоли: «Слово “математический” по-гречески означает упорядоченный. Под математическими дисциплинами в древности понималась арифметика, геометрия, астрономия, музыка, перспектива, архитектура и космография. Музыка удовлетворят слух - одно из естественных чувств, а перспектива- зрение, что важнее, так как непосредственно ведет к интеллекту. Первая возвышает душу в силу гармонии, вторая доставляет большое наслаждение благодаря надлежащему расстоянию и разнообразию чувств».
Очень часто две различные физические задачи приводят к одной и той же математической проблеме. Например, задача о плоском стационарном температурном поле, задача кручения вала и задача о форме упругой пленки, натянутой на проволочный каркас, описываются уравнением Лапласа (так называемая тройная аналогия). Ленин говорил: «Единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к различным областям явлений». Подобное высказывание есть у Фурье Жан Батиста (1768-1830гг): «Математический анализ восполняет краткость нашей жизни и несовершенство наших чувств. Он идет одной и той же дорогой в изучении всех явлений; он объясняет их одним языком, как бы для того, чтобы подчеркнуть единство и простоту устройства вселенной».
Эта аналогичность дифференциальных уравнений привела математиков к важному методу решения физических задач – методу математического моделирования. Суть этого метода заключается в следующем.
Пусть решение интересующей нас физической задачи сводится к решению некоторого дифференциального уравнения (при определенных начальных и граничных условиях). Пусть к тому же уравнению (с теми же граничными и начальными условиями) сводится также другая физическая задача. Допустим, кроме того, что решение второй физической задачи может быть найдено непосредственно – с помощью эксперимента. Тогда найденное решение будет служить и решением для первой физической задачи (если начальные и граничные условия для этих задач выбраны так, что они гарантируют единственность решения). В этом случае говорят, что вторая физическая задача служит моделью для первой.
Например, процессы диффузии и теплопроводности описываются идентичными по форме дифференциальными уравнениями, что следует из подобия законов Фика и Фурье. Процессы теплопроводности изучены достаточно подробно. Поэтому результаты, полученные для тепловых процессов, могут быть перенесены на массообменные процессы. Например, процессы тепловой обработки рыбы и ее засолка описываются идентичными дифференциальными уравнениями и т.д..
Моделью называют некоторый вспомогательный искусственный или естественный объект, обладающий способностью в том или ином смысле заменить основной объект. Или более конкретно. Под математической моделью будем понимать математически формализованное, с использованием современных физических представлений, описание какого либо процесса или явления. Более широко можно сказать: математическое моделирование имеет место, когда реальному процессу или явлению ставится в соответствие какие-либо математические соотношения (дифференциальные уравнения, алгебраические уравнения, и т.д.).
Я. И. Френкель определил предмет теоретической физики так: «Физическая теория подобна костюму, сшитому для природы. Хорошая теория подобна хорошо сшитому костюму, а плохая – тришкину кафтану. Физик-теоретик подобен портному».
Физик-теоретик осмысливает добытые на опыте факты, рисует на них «карикатуру» и пытается облачить эту карикатуру в некий «математический костюм». Он переводит с невнятного языка природы на точный и ясный язык математики. После этого теория переходит во владения математической физики для окончательной отделки и извлечения многочисленных полезных сведений.
При составлении математических моделей используется ряд физически оправданных допущений, с целью их упрощения (изотермичность, постоянство физических свойств веществ и т.д.). Т.е. математическая модель имеет определенную область применения (интервал скоростей, температур, давлений). Модель – это некоторая идеализация реального объекта или явления.
Август Шлегель дал следующее определение искусства: «Нарисованное дерево отличается от настоящего только тем, что на нем нет гусениц». Подобным образом можно сказать и о математической модели, поскольку она, представляя совокупность математических выражений, в отличие от объекта моделирования, неядовитая, невзрывоопасная, ни горячая, ни холодная, ни мокрая и т.д. Тем не менее, модель дает возможность получить ценную информацию об объекте, непосредственное исследование которого иногда может представлять определенную опасность для здоровья исследователя. Часто математическая модель заменяет дорогостоящий или опасный эксперимент.
Математическое моделирование широко распространено во всех сферах деятельности человека. В то же время степень математизации различных наук существенно отличается. Так, наиболее широко математическое моделирование имеет место в механике, физике. К менее математизированным наукам можно отнести медицину, психологию, где значение интуиции и эмпирического опыта является решающим. По словам Канта: «Степень развития науки определяется широтой использования в ней математического аппарата». Более категорично выразился Гегель: «Эмпирический путь познания – удел животного, но не человека». Однако именно эмпирическая информация определяет и корректирует цели и задачи моделирования.
Модели создаются, уточняются, усложняются, отмирают или устаревают, так что составляют новую модель, в соответствии с изменившимися физическими представлениями.
Но не следует считать, что все сейчас описано математически и формализовано. При создании сложной техники также широко применяется здравый смысл, интуиция, чутье конструктора. Викинги не знали механики (ее 1000 лет назад не существовало), но они строили корабли с хорошими мореходными качествами.
Модели бывают теоретические и формальные. Теоретические модели строятся с учетом физических законов, имеющих место в объекте. Они часто сложны, требуют высокой квалификации исследователя. Представляют высокую ценность, поскольку могут быть распространены на другие подобные задачи. Строятся на фундаментальных законах сохранения, теплопроводности, диффузии, неразрывности. Имена их создателей остаются в веках (Пуазейль, Стокс, Нуссельт, Прандтль, Ландау Л.Д. и др.). При этом важен не уровень решения, а новизна подхода.
При формальном моделировании объект рассматривается как "черный ящик" и экспериментально исследуется зависимость выходных параметров от входных. Широко применяются методы планирования эксперимента (для сокращения объема исследований), кибернетики. Они гарантируют заданную точность только в исследованном диапазоне параметров. Получающиеся при этом простые по форме уравнения (обычно алгебраические) «слепы», поскольку не раскрывают физическую сущность протекающих процессов. Применяются для анализа очень сложных процессов или объектов. Собственно науке они дают мало нового, но необходимы для управления конкретным объектом или поверхностного выяснения его основных свойств.
Модели бывают динамическими (зависят от времени) и статическими, для которых выполняется условие ¶/¶t=0. Построение динамических моделей более трудоемко, но они, как правило, более точно описывают реальный объект.
ГЛАВА 1. Моделирование отдельных задач гидродинамики
