В последнем выражении интеграл в скобках полностью совпадает с выражением (1.4.9), т. е.

Дата добавления: 2013-12-24; просмотров: 775; Нарушение авторских прав

Тогда

Свойства преобразования Лапласа

Операторное представление некоторых сигналов

Для краткости связь между оригиналом и изображением записывается в виде

Пара преобразований

Умножим правую и левую часть последнего выражения на exp(ct) и получим

или

(1.4.5)

(1.4.6)

носят название прямого и обратного преобразования Лапласа соответственно. Функция S(p) называется изображением сигнала s(t), а сигнал s(t) является оригиналом функции S(p). S(p) также, как и s(t) и S1(jω), полностью описывает сигнал.

s(t) ۪=۫ S(p). (1.4.7)

Если известна спектральная плотность сигнала S(jω) сигнала s(t), то S(p) можно получить из S(jω) путем формальной замены jω на p.

Взяв интеграл по частям, получим

1. Свойство линейности

Если), где а, в, с – вещественные числа.

, где (1.4.8)

где S1(з), S2(з), S3(з) – тзображения сигналов s1(t), s2(t), s3(t) соответственно, а S(з) изображение сигнала s(t).

2. Свойство задержки.

Дан сигнал s(t), изображение которого S(з). Найти изображение сигнала s1(t) = s(t - to). Сигнал s1(t) отличается от сигнала s(t) сдвигом на интервал t0 вправо по оси времени, т.е. задержкой на время to.

Изображение сигнала s(t) будет иметь вид:

.(1.4.9)

а изображение сигнала s1(t)=s(t – to) вид:

. (1.4.10)

В последнем выражении сделаем замену переменных t – to = τ.

Тогда t = τ + to, а dt = dτ и интеграл (1.3.10) примет вид:

.(1.4.11)

Так как exp(ptо) не зависит от τ, то этот сомножитель можно вынести за пределы интеграла.

Тогда получим(1.4.12)
.(1.4.13)

Таким образом сдвиг во временной области на время t0 вправо по оси времени приводит к умножению на exp(-ptо) в операторной области.

3. Свойство дифференцирования.

Дан сигнал s(t), изображение которого S(jω). Найти изображение сигнала s1(t) = ds(t)/dt.

Пусть изображения сигналов s(t) и s1(t) будут S(p) и S1(p) соответственно.

Тогдаa (1.4.14)

(1.4.15)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>

Применяя преобразование Фурье к новой функции s1(t), получим | Эта теорема позволяет сравнительно просто получить обратное преобразование Лапласа.