Интегральные теоремы векторного анализа

Интегральные теоремы устанавливают связь между значениями тензоров внутри поля и их значениями на границах поля. В этом смысле они являются обобщением известной формулы Ньютона‒Лейбница

,

выражающей интеграл от производной функции через значения этой функции на границах интервала интегрирования.

Кроме упомянутой выше связи интегральные теоремы позволяют сформулировать инвариантные определения и , которые не содержат никаких указаний на конкретную систему координат и поэтому могут быть использованы для их вычисления в любой системе координат (косоугольной, криволинейной и др.).

Наконец, используя основные дифференциальные операции теории поля, эти теоремы можно записать в векторной форме, что делает их применение весьма удобным во многих разделах теоретической физики.

Для вывода требуемых соотношений рассмотрим интеграл

,

где скалярная функция прямоугольных декартовых координат . Интегрирование выполняется по некоторому объему V области трехмерного евклидова пространства, в которой задано скалярное поле .

Выполним интегрирование в направлении оси . Предварительно заметим, что прямая, параллельная оси , может пересекать поверхность S ограничивающую объем V в нескольких точках. Обозначив точки входа этой прямой внутрь объема через , а точки выхода через , получим

,

где площадь проекции области занимающей объем V на плоскость .

Элемент площади можно рассматривать как проекцию элемента поверхности S на плоскость . В точках входа прямой, параллельной оси , внутрь объема V

,

а в точках выхода

,

где орт внешней нормали к поверхности S, орт оси . Тогда

. (1)

В правой части формулы (1) интегрирование выполняется по поверхности S ограничивающей объем V.

Производная функции , являющаяся подынтегральной функцией интеграла в левой части (1), является и проекцией на ось . Записав выражения аналогичные (1) для проекций на оси и , умножим каждое равенство на орт соответствующей оси и сложим

полученные выражения. В результате придем к инвариантному, то есть независящему от выбора системы координат, равенству

. (2)

Рассмотрим точку М в скалярном поле функции . Охватим эту точку замкнутой поверхностью и допустим, что объем части пространства внутри поверхности достаточно мал. Тогда, применяя к (2) интегральную теорему о среднем, получаем

.

Здесь градиент функции в какой-то точке находящейся внутри объема , стремится к нулю одновременно с .

Следовательно,

. (3)

Будем теперь стягивать объем к точке так, чтобы его поверхность также стремилась к нулю. Тогда точка сольется с точкой М в силу непрерывности производных , являющихся компонентами вектора , и выражение (3) принимает вид

. (4)

Равенство (4), если предел в его правой части существует, можно рассматривать как определение градиента не зависящее от выбора системы координат.

Теперь будем считать, что в области G трехмерного евклидова пространства, ограниченной поверхностью S и имеющей объем V, задано векторное поле некоторого вектора . Возвратимся к формуле (1). Заменив в ней скалярную функцию f проекцией вектора на ось , имеем

.

Аналогичные соотношения можно записать для проекций и вектора .

Сложив правые и левые части этих равенств, получаем

= (5)

или

. (6)

Равенство (6) выражает теорему Остроградского в векторной форме: интеграл по объему от дивергенции векторного поля равен потоку векторного поля через произвольную замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем. При этом предполагается, что проекции вектора непрерывны внутри поверхности S вместе со своими частными производными.

Применяя к формуле Остроградского (6) рассуждения подобные тем, которые позволили поучить из формулы (2) выражение (4), нетрудно убедиться, что

. (7)

Равенство (7) является инвариантным определением дивергенции: дивергенцией векторного поля в точке М называется предел, к которому стремится отношение потока векторного поля через произвольную, окружающую точку М, поверхность к ограниченному этой поверхностью объему при стремлении объема к нулю.

Из выражения (7) также следует, что дивергенцию векторного поля можно рассматривать как объемную плотность потока векторного поля в данной точке М. Некоторые примеры будут рассмотрены в параграфе .

Перейдем к рассмотрению . Используя формулу (1), найдем:

,

.

Отсюда

.

Аналогично можно получить еще два соотношения отличающихся от записанного циклической перестановкой индексов. Эти три соотношения эквивалентны векторному равенству

. (8)

Из (8), используя рассуждения приведенные выше, получаем равенство

, (9)

которое не зависит от системы координат и может служить инвариантным определением ротора.

Сравнивая равенства (4), (7) и (9) нетрудно заметить, что инвариантные определения градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля формально могут быть получены как результат действия оператора

(10)

на скалярную или векторную функции соответствующим образом. Соотношение (10) можно рассматривать как выражение оператора набла в форме, не зависящей от системы координат.

Символическая запись (10) означает, что применение оператора к некоторому выражению (…), скаляру или вектору , сводится к отысканию предела отношения величины некоторого поверхностного интеграла (в каждом случае своего) к величине объема, ограниченного поверхностью интегрирования, при стягивании области ограниченной этой поверхностью к некоторой внутренней точке М. Этот предел, по определению, не зависит от формы бесконечно малой поверхности охватывающей точку М.

Поместим точку М внутрь прямого цилиндра высоты h, образующие которого параллельны некоторому единичному вектору . Пусть площадь боковой поверхности цилиндра, а площади его оснований. Обозначим через , и внешние нормали к соответствующим составляющим поверхности цилиндра такие, что и , где орт касательной к боковой поверхности цилиндра. Найдем проекцию на направление вектора . Учитывая, что объем цилиндра и опуская индекс М в выражении (9), получаем

. (11)

Так как векторы , и коллинеарные, то подынтегральные функции в двух первых интегралах равны нулю. Оставшийся интеграл по боковой поверхности , учитывая, что

и , перепишем в виде

,

где направленный элемент контура основания цилиндра.

Тогда

. (12)

Интеграл , входящий в выражение (12), называется циркуляцией вектора по контуру . При его вычислении следует помнить, что направление обхода контура (L) связано с направлением вектора правилом правого винта.

Формула (12) определяет проекцию вектора на любое направление независимо от выбора системы координат:

проекция на какое-либо направление в каждой точке поля равна пределу отношения циркуляции вектора по границе плоской площадки, проходящей через эту точку, перпендикулярно к , к площади этой площадки, когда граница площадки стягивается к рассматриваемой точке.

Допустим, что в поле вектора дан замкнутый контур на который опирается криволинейная незамкнутая поверхность S (рисунок ). Разобьем поверхность на элементы , ограниченные контурами . Циркуляция вектора по контуру равна сумме циркуляций по контурам элементов , так как внутренние границы смежных элементов

, (14)

где орт нормали во внутренней точке элемента , стремится к нулю, если стремится к нулю. Подставив (14) в (13), получаем

. (15)

Перейдем к пределу, увеличивая количество m элементов до бесконечности и уменьшая до нуля. Тогда, заменяя сумму в правой части выражения (15) поверхностным интегралом, получаем

. (16)

Формула (16) выражает теорему Стокса в векторной форме:

циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку вектора через произвольную поверхность , опирающуюся на контур .

Теорема Стокса завершает ряд основных интегральных теорем устанавливающих связь «область интегрирования ‒ граница области интегрирования».