Оператор Лапласа

В формулах (7) и (11) предыдущего параграфа мы столкнулись с оператором Лапласа , который в декартовой системе координат имел вид (8). Уравнения, содержащие этот оператор, встречаются в различных разделах физики: гидродинамике, электродинамике, теории волн и др. Решения этих уравнений далеко не всегда удобно искать в декартовой системе координат. В связи с этим получим выражения оператора Лапласа в криволинейных координатах.

В общих криволинейных координатах лапласиан

, (1)

где символ ковариантной производной.

Так как ковариантные производные скаляра и вектора отличаются наличием слагаемого содержащего символы Кристоффеля, то выражения оператора Лапласа действующего на скалярную и векторную функции отличаются друг от друга. Для их вывода обычно используют упомянутые выше формулы (7) и (11) переписав их в виде

(2)

. (3)

Учитывая (1)см1 и (2)см2, для лапласиана скалярной функции U в общих криволинейных координатах из (2) имеем

. (4)

В ортогональных криволинейных координатах выражение (4) принимает вид

. (5)

В частности, для цилиндрической и сферической систем координат из (5) получаем:

а) в цилиндрической системе координат

(6)

б) в сферической системе координат

. (7)

Из (6) и (7) следует, что оператор , применяемый к скалярной функции в цилиндрической и сферической системах координат соответственно, имеет вид

, (8)

. (9)

Теперь рассмотрим действие оператора Лапласа на векторную функцию . Прежде всего, отметим, что, согласно (3), полученный результат является вектором. В общих криволинейных координатах этот вектор равен

(10)

Выражение (10) получается из (3) если воспользоваться соотношениями (1)см.1, (2) и (12)см.2. При записи второго слагаемого в правой части выражения (3) следует учесть, что rota определяется через ковариантную производную от ковариантной компоненты вектора, а формула (12) определяет контровариантные компоненты вектора .

В ортогональных системах координат (10) принимает вид

, (11)

где физические компоненты вектора .

В частных случаях для физических компонент вектора из (11) следует:

а) в декартовой системе координат

; (12)

б) в цилиндрической системе координат

,

, (13)

,

где оператор Лапласа определяется выражением (8);

в) в сферической системе координат

,

, (14)

,

где оператор Лапласа определяется выражением (9).