Поле тензора второго ранга(Бор.стр177)

Классификация векторных полей

Формулы Грина

Получим формулы Грина известные из матанализа. Не обсуждая их самостоятельного значения, мы воспользуемся ими для нахождения выражения оператора Лапласа в форме, не зависящей от системы координат. Проще всего требуемые формулы могут быть получены как частные случаи формулы Остроградского при соответствующем задании вектора .

Пусть вектор

,

где и скалярные функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого и второго порядков. Тогда

,

.

Подставив эти выражения в формулу Остроградского (6), получим первую формулу Грина

. (17)

Полагая вектор в формуле Остроградского равным

,

получаем вторую формулу Грина

. (18)

В частном случае обе формулы Грина совпадают и приводят к равенству

. (19)

Из равенства (19) следует, что оператор Лапласа можно представить в виде

(20)

независящем от системы координат.(Возможно добавить остатки стр.200 Борисенко).

В теории поля рассматривают три основных типа векторных полей: потенциальное поле, соленоидальное поле и лапласово поле. Основной характеристикой каждого из этих полей является потенциал поля, свой для каждого типа поля. Так, потенциалы лапласова и потенциального поля ‒ скаляры, потенциал соленоидального поля ‒ вектор.

Сразу отметим, что для всех трех типов полей соответствующие потенциалы могут быть определены однозначно только в том случае, если область G, в которой задано поле, является односвязной. Если G ‒ многосвязная область, то потенциалы становятся многозначным. В этом случае их определение требует введения дополнительных условий налагаемых на (резко сужает )

В связи со сделанным замечанием, напомним понятия односвязной и многосвязной областей. Область называется однозначной, если любой замкнутый контур, расположенный внутри области, может быть стянут в точку непрерывным образом, не пересекая границ области. Примерами односвязных областей могут служить: все пространство, вся плоскость, область внутри или вне шара, куба и т.п. Если это условие не выполняется, то область является многосвязной: двухсвязной, трехсвязной и т.д. Пример двухсвязной области показан на рисунке . Здесь

Теперь прейдем к рассмотрению конкретных типов полей.

Потенциальное векторное поле.

Векторное поле называется безвихревым в области G пространства ?????, если в каждой точке этой области

. (1)

Примером такого поля может служить поле градиента скалярной функции U, то есть

. (2)

В этом случае функция называется скалярным потенциалом векторного поля, а само векторное поле называется потенциальным. Из (2) следует, что если векторное поле имеет потенциал, то этот потенциал определяется полем однозначно, с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Всякое потенциальное поле, независимо от связности области G, является безвихревым. Это следует из формулы .Однако безвихревое поле является потенциальным только в том случае, если оно определено в односвязной области. Если область G многосвязная, то построить однозначную функцию потенциала в каждой точке нельзя. В этом случае принято говорить о многозначном потенциале поля.

Многозначность потенциала отражается на виде векторных линий поля. Векторные линии потенциального поля являются линиями градиента скалярного поля U. Если потенциал однозначен, то векторные линии его градиента не могут быть замкнутыми, так как тогда по таким линиям . У многозначного потенциала возможны замкнутые некоторые линии его градиента (рисунок).

Рассмотрим циркуляцию векторного поля по контуру :

. (3)

Отсюда следует, что в случае однозначного потенциала выражение является полным дифференциалом скалярного потенциала векторного поля. Следовательно, криволинейный интеграл

(4)

не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной М₀ и конечной М точек этого пути. Этот вывод, выражающий основное свойство потенциального поля, имеет весьма важное практическое значение. Например, если силовое поле имеет однозначный потенциал, то из (4) следует, что работа сил поля равна разности потенциалов в начальной и конечной точках.

Заметим, что (3) согласуется с теоремой Стокса

.

Так как теорема справедлива для любого контура, а следовательно и для любой поверхности, то равенство нулю поверхностного интеграла возможно, если , то есть если векторное поле потенциально

.

Соленоидальное векторное поле.

Векторное поле называется соленоидальным или вихревым в области пространства…., если в каждой точке этой области

. (5)

Примером соленоидального поля является поле ротора некоторой векторной функции , то есть

. (6)

Действительно, согласно ( ) .

Функция называется векторным потенциалом поля. Даже в односвязной области векторный потенциал поля определяется с точностью до градиента произвольной скалярной функции f, что следует из формулы .

Основное свойство соленоидального поля состоит в том, что его векторные линии не имеют начала или конца. Они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. Имея в виду физический смысл , можно сказать, что соленоидальное поле не имеет ни источников ни стоков.

Для доказательства этого свойства выделим в поле векторную трубку (рисунок ). Пусть и поперечные сечения трубки, а часть ее боковой поверхности. Обозначим через , и внешние нормали к соответствующим поверхностям, а через объем

заключенный в нашей поверхности . Тогда, согласно теореме Остроградского,

,

так как по определению соленоидального поля.

Отсюда, учитывая, что , следует

.

Интеграл по поверхности равен нулю, так как во всех точках этой поверхности векторы и ортогональны. Теперь, заменяя на , чтобы потоки через сечения и вычислялись в одном направлении, получаем

.

Так как сечения и выбраны произвольно, то записанное равенство означает, что поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки одинаков. А так как поток пропорционален числу векторных линий пересекающих поверхность, то, следовательно, через любое поперечное сечение трубки проходит одно и тоже число векторных линий. Последнее означает, что векторные линии соленоидального поля не возникают и не исчезают.

Лапласово векторное поле.

Векторное поле называется лапласовым, если в любой его точке выполняются равенства

;

.

Отсюда видно, что векторное лапласово поле одновременно является и потенциальным и соленоидальным.

Выше было установлено, что в односвязной области условие выполнено, если , где некоторая, непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка, скалярная функция. Тогда из условия следует

,

то есть функция должна удовлетворять уравнению Лапласа

. (7)

Таким образом в односвязной области G лапласово векторное поле полностью определяется функцией , удовлетворяющей уравнению Лапласа, которая является его скалярным потенциалом.

Функция непрерывная вместе со своими частными производными первого и второго порядков, удовлетворяющая уравнению Лапласа называется гармонической. Поэтому для изучения потенциала лапласова векторного поля используют свойства гармонических функций рассматриваемые в матанализе.(дать итог? Стр226 Бор).

Основная теорема векторного анализа теорема Гельмгольца?