Оператор Гамильтона

Однократное действие ковариантного дифференцирования повышает ранг дифференцируемого тензора на единицу, увеличивая на единицу количество свободных ковариантных индексов. Такое повышение ранга имеет место при умножении тензора и вектора заданного своими ковариантными компонентами. В связи с этим бывает удобно рассматривать оператор ковариантного дифференцирования как ковариантные компоненты некоторого символического вектора

. (1)

Этот вектор называется оператором Гамильтона «набла». В декартовой системе координат, где все символы Кристоффеля равны нулю, оператор Гамильтона имеет вид

. (2)

Оператор Гамильтона позволяет записать градиент скалярной функции U, дивергенцию и ротор вектора единым образом, рассматривая их как результаты «умножений» оператора на скаляр или вектор:

, (3)

, (4)

. (5)

Последнее выражение справедливо только в трехмерном пространстве.

Подчеркнем, что для получения определенного результата оператор набла должен быть расположен слева, то есть перед объектом, на который он действует. Если расположен справа, то есть после объекта, то мы получим новый оператор. Например, скалярное умножение вектора на в декартовой системе координат приводит к оператору

. (6)

Следовательно , то есть такое скалярное произведение некоммутативное.

Так как дивергенция и ротор являются соответственно скалярной и векторной функциями вектора, то имеет смысл говорить о ,

, , . Для градиента, векторной функции скалярного аргумента, имеет место операция . В теории поля записанные выражения называются дифференциальными операциями второго порядка. Используя выражения (3) – (5) легко получить результаты этих операций:

, (7)

где оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид

; (8)

, (9)

что следует из свойств смешанного произведения векторов;

(10)

как векторное произведение коллинеарных векторов.

Две оставшиеся дифференциальные операции второго порядка выражаются одна через другую

. (11)

Доказательство векторного соотношения (11) проведем индексным методом. Для произвольной компоненты в декартовой системе координат, учитывая свойство () псевдотензора Леви – Чивита, получаем

=.

Опуская в полученном выражении индекс i, приходим к выражению (11).

Аналогично могут быть получены и другие полезные формулы. Например, применяя дифференциальные операции первого порядка к произведению функций , , , получаем:

; (12)

; (13)

; (14)

; (15)

; (16)

. (17)

Вывод формул (12) – (17) предлагаем сделать читателю самостоятельно.