Дивергенция и ротор векторного поля

Пусть в области G пространства задано поле вектора , контровариантные и ковариантные компоненты которого и их первые производные по координатам являются непрерывными функциями в любой точке области G. Ковариантная производная контровариантных компонент вектора

является смешанным тензором второго ранга. Свертывая этот тензор, найдем его линейный (первый главный) инвариант. Полученная скалярная величина называется дивергенцией вектора и обозначается , то есть

. (1)

Выражение (1) определяет дивергенцию в локальном базисе произвольной криволинейной системы координат. Учитывая дальнейшее изложение, преобразуем его к виду

(2)

где определитель фундаментальной матрицы.

Для этого учтем, что

.

Теперь воспользуемся формулами (*) и (**). Тогда

.

Отсюда получаем

. (3)

Подставив (3) в равенство (1) и переобозначив немые индексы k через i, приходим к выражению (2).

Запишем выражение в трехмерном пространстве в различных системах координат:

а) в декартовой системе координат ()

; (4)

б) в ортогональных криволинейных системах координат (

; (5)

в) в локальном физическом базисе

, (6)

где физическая компонента вектора .

В частности,

г) в цилиндрической системе координат (

; (7)

д) в сферической системе координат (

. (8)

Физический смысл дивергенции будет установлен в .

Введем понятие ротора вектора . Вычислим ковариантную производную ковариантной компоненты вектора

. (9)

Найденное выражение (9) является чисто ковариантным тензором второго ранга. Выполняя альтернирование над этим тензором, получаем антисимметричный тензор

(10)

второго ранга, компоненты которого не зависят от метрики пространства.

В параграфе было показано, что в трехмерном пространстве антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен вектору. Вектор дуальный тензору (10) называется ротором вектора и обозначается . Согласно формуле (…….) его контровариантные компоненты равны

, (11)

а сам вектор

, (12)

где контровариантный псевдотензор Леви -Чивита.

В декартовой системе координат (12) принимает вид

. (13)

В локальном физическом базисе с ортами

, (14)

где символом обозначены компоненты псевдотензора Леви -Чивита в декартовой системе координат.

В цилиндрической и сферической системах координат согласно (14) соответственно имеем:

, (15)

. (16)

Чтобы составить предварительное представление о физическом смысле ротора обратимся к примеру из механики. Рассмотрим в декартовой системе координат тело, вращающееся вокруг неподвижной оси вращения с угловой скоростью . Пусть линейная скорость некоторой точки этого тела. Положив в (13) , получаем

. (17)

Учитывая связь линейной и угловой скоростей

, (18)

где радиус вектор точки М, после подстановки (18) в (17) имеем

.

Следовательно, ротор скорости точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен удвоенному вектору мгновенной угловой скорости тела.

Более подробно физическое содержание ротора будет рассмотрено в параграфе .