Градиент скалярного поля

Основные дифференциальные операции теории поля в криволинейных системах координатах

Рассмотрим область G пространства арифметизированного криволинейной системой координат. Тогда положение точки М определяется ее криволинейными координатами , то есть

.

В этом случае, для введения рассмотренных выше основных дифференциальных операций теории поля, удобно исходить из понятия ковариантной производной тензора рассмотренного в параграфе . Такой подход обладает несомненным преимуществом, так как позволяет получить выражения для градиента, дивергенции и ротора в любой системе координат.

Пусть в каждой точке области G задана скалярная функция , то есть, задано скалярное поле. Как и выше мы предполагаем, что в каждой точке области G функция является непрерывной и имеет непрерывные частные производные первого порядка . Найдем ковариантную производную функции . Из общего выражения для ковариантной производной ( ) следует, что ковариантная производная тензора нулевого ранга (скаляра) совпадает с частной производной

(1)

и определяет ковариантные компоненты тензора первого ранга (вектора). Этот вектор и является градиентом скалярного поля, то есть

. (2)

Выражение (2) определяет градиент в локальном базисе криволинейной системы координат.

В локальном физическом базисе с ортами выражение (2) принимает вид

. (3)

В ортогональных системах координат , где коэффициенты Лямэ. Следовательно (3) принимает вид

. (4)

Учитывая полученные ранее выражения для коэффициентов Лямэ, запишем, используя (4), выражение градиента в наиболее часто используемых системах координат:

а) в декартовой системе координат (

(5)

что совпадает с (2.6);

б) в цилиндрической системе координат ()

; (6)

в) в сферической системе координат ()

. (7)