Скалярное поле

Приизучении скалярного поля методами анализа необходимо в первую очередь описать его локальные свойства, то есть изменение величины при переходе от точки к близким к ней точкам. Для решения этой задачи вводится понятие производная по направлению.

Рассмотрим две близкие точки и . Положение точки относительно точки зададим вектором , где длина отрезка , фиксированный единичный вектор. Составим отношение

(1)

и потребуем, чтобы точка приближалась к точке так, что вектор не изменяет своего направления.

Определение. Предел отношения (1)

, (2)

если он существует, называется производной скалярного поля в точке по направлению .

Производная характеризует скорость изменения величины в направлении .

Вычислим производную в декартовой системе координат. В этом случае

, (3)

,

, (4)

где ификсированные углы образованные единичным вектором с соответствующими осями координат.

Производная совпадает с производной по от сложной функции (4) при и равна

. (5)

Выражению (5), позволяющему вычислять производную функции в заданном направлении, можно придать иной вид. Его можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: единичного вектора , заданного выражением (3), и некоторого вектора, имеющего компоненты . Этот вектор называется градиентом скалярного поля и обозначается символом gradU. Таким образом, в декартовой системе координат

gradU = (6)

и, следовательно,

gradU=, (7)

где угол между gradU и вектором .

Из (7) видно, что в каждой точке М области G, в которой , существует единственное направление, определяемое условием , производная по которому имеет наибольшее значение. Это направление совпадает с вектором gradU. Как всякий вектор, вектор gradU характеризуется модулем и направлением. Направление вектора gradU совпадает с направлением наибыстрейшего возрастания величины U , а его модуль равен модулю скорости возрастания величины U в этом направлении.

Очевидно, что ни направление наибыстрейшего возрастания функции, ни величина ее производной в этом направлении не зависят от выбора системы координат. Следовательно, градиент скалярного поля зависит лишь от самого поля, но не от выбора системы координат, то есть является инвариантной характеристикой скалярного поля.