Поле тензора ранга r

ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ

Пусть некоторая область пространства. Если каждой точке М области G поставлен в соответствие некоторый тензор Т ранга r, то говорят, что в области G задано поле тензора ранга r. При этом предполагается, что компоненты тензора Т являются определенными функциями координат точки М.

В зависимости от ранга тензора образующего тензорное поле рассматривают различные типы полей: скалярные поля, векторные поля, поля тензоров второго ранга и т. д..

Тензоры, ранг которых являются скалярами. В связи с этим поле тензоров нулевого ранга называют скалярным полем. Согласно сказанному выше это означает, что каждой точке М области G поставлено в соответствие некоторое число .

Примером скалярного поля может служить поле температур внутри нагретого тела. В этом случае в каждой точке М этого тела задана соответствующая температура U(M). Наряду с полями, заданными в пространственных областях, часто приходится рассматривать плоские (двумерные) скалярные поля. Примером такого поля может служить освещенность части плоскости, создаваемая каким – либо источником света.

Тензоры первого ранга – векторы – образуют векторные поля. В этом случае каждой точке М области G ставится в соответствие некоторый вектор .

Приведем примеры векторных полей. Пусть область G заполнена жидкостью, текущей в каждой точке с некоторой скоростью , не зависящей от времени но, вообще говоря, различной в разных точках области G. Поставив в соответствие каждой точке М из области G вектор , мы получим векторное поле, называемое полем скоростей.

Другим примером векторного поля может служить электростатическое поле. В этом случае каждой точке М из области G ставится в соответствие вектор напряженности электрического поля создаваемого системой неподвижных электрических зарядов.

Для задания поля тензора ранга каждой точке М области G необходимо поставить в соответствие тензор второго ранга. Так как тензоры второго ранга имеют матричное представление, то сказанное означает, что каждой точке М из G ставится в соответствие матрица, элементы которой являются функциями координат точки М. Примером поля тензора второго ранга может служить поле тензора напряжений описывающего напряженное состояние тела в точке.

Выше мы неоднократно встречались с метрическим тензором – тензором второго ранга, компоненты которого являются функциями координат точек пространства. Пространство, арифметизированное координатами с определенной метрикой, является полем метрического тензора, то есть полем тензора второго ранга.

В физике наиболее часто встречаются скалярные и векторные поля. Ниже мы рассмотрим эти поля более детально.