Взаимный базис.

Связь контровариантных и ковариантных компонент вектора. Фундаментальная матрица.

Контровариантные и ковариантные компоненты вектора.

Читателю уже известно, что для математической записи физических законов используются скаляры и векторы. Поэтому вопрос об инвариантности математических объектов при НОПСК естественно начать с рассмотрения этих простейших тензорных величин. Если говорить о скалярных величинах, то их поведение очевидно. Они, как и должно быть, инвариантны. Действительно, масса, электрический заряд, расстояние между двумя точками и др. не изменяются, если мы прейдем от одной системы координат к другой, например повернутой относительно первой на угол . Этот результат мы можем записать так

Здесь скалярная величина в новой (штрихованной) системе координат,

та же величина в старой (нештрихованной) системе координат.

Если говорить о векторе, то при переходе к новой СК его модуль и направление останутся прежними, то есть

.

Однако компоненты вектора (проекции вектора на оси СК) изменяются. Что бы выяснить законы, по которым происходят эти изменения, мы сначала познакомимся с понятием компоненты вектора более детально, чем это обычно принято в традиционном курсе векторной алгебры и аналитической геометрии.

В параграфе 2 было показано, что по отношению к выбранной косоугольной системе координат вектор может быть определен (задан) набором своих контровариантных или ковариантных компонент. Так как оба набора компонент характеризуют (определяют) один и тот же вектор, то естественно предположить, что они связаны между собой. К установлению этой связи мы и перейдем.

Используя соотношения (1.2) и (1.1) можем записать

(1.3)

где для скалярного произведения орт базиса введено обозначение Выражение (1.3) показывает, что ковариантные компоненты вектора могут быть представлены в виде линейных комбинаций его контровариантных компонент. Коэффициентами в этих комбинациях в мерном пространстве являются величин которые принято записывать в виде квадратной матрицы обозначаемой g. Матрицу g называют фундаментальной матрицей. В частности, в трехмерном пространстве фундаментальная матрица имеет вид

(1.4)

Тот факт, что элементы матрицы g равны скалярным произведениям соответствующих базисных векторов, позволяет сделать следующие выводы о ее свойствах:

- фундаментальная матрица симметричная

- фундаментальная матрица неособенная, то есть

Так как матрица g неособенная, то существует матрица обратная матрице g. Обозначим ее элемент . Тогда

,

где алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы g.

Умножая матрицы g и ,мы, естественно, получим единичную матрицу

. Используя индексную форму записи, ту же операцию можно записать и «на языке» матричных элементов

. (1.5)

Здесь

(1.6)

дельта символ Кронекера.

Покажем теперь, что контровариантные компоненты вектора можно также выразить в виде линейной комбинации его ковариантных компонент. Умножая обе части выражения (1.3) на и учитывая (1.5), получаем

,

или

(1.7)

Выражения (1.3) и (1.7) решают поставленную задачу. Заметим, что в ортонормированной системе координат фундаментальная матрица принимает вид единичной. Следовательно, то есть контровариантные и ковариантные компоненты совпадают.

Продолжая обсуждение контровариантных и ковариантных компонент вектора уместно поставить вопрос «А обладают ли одни из них какими либо преимуществами по сравнению с другими?». Этот же вопрос можно сформулировать и совсем просто «А какие из них «лучше»?». Сторонники контровариантных компонент, основываясь на выражении (1.1), будут утверждать, что при сложении они подчиняются столь «привычному и родному» для нас правилу «параллелограмма». Зато, возразят сторонники ковариантных компонент, «наши» ковариантные компоненты легко вычислить! Достаточно, в соответствии с (1.2), умножить скалярно вектор на соответствующий базисный вектор и «дело в шляпе»!

Попытаемся рассудить спорящих. Возьмем вектор и разложим его по базисным векторам , после чего воспользуемся соотношением (1.7) и свойством симметрии фундаментальной матрицы g:

(1.8)

В выражении (1.8) введено очевидное обозначение

(1.9)

Определение 1. Базис образованный векторами , построенными из базисных векторов по правилу (1.9), называется взаимным (обратным) к базису образованному векторами

Смысл терминов «взаимный» и «обратный» будет ясен из дальнейшего, либо рассмотрен на практических занятиях.

Взаимным базисам можно дать и другое определение. Вычисляя скалярное произведение базисных векторов и прямого и обратного базисов, с учетом (1.9) и (1.5), получаем

(1.10)

Полученный результат известен как условие ортогональности. Он показывает, что, например, первый орт базиса будет ортогонален всем базисным векторам взаимного базиса с номерами

Определение 2. Базисы, орты и которых удовлетворяют соотношению ортогональности (1.10), называются взаимными (обратными) базисами.

Определив необходимые для дальнейшего понятия, перейдем к выяснению сути вопроса. Сравнивая выражение (1.8) с выражением (1.1), можно сделать вывод, что в системе координат определяемой взаимным базисом складывать по правилу «параллелограмма» следует ковариантные компоненты вектора.

Посмотрим, как определяться контровариантные компоненты вектора во взаимном базисе. Для этого умножим скалярно вектор на базисный вектор взаимного базиса. Учитывая (1.1) и (1.10), будем иметь

(1.11)

Сравнив (1.11) и (1.2) убеждаемся, что во взаимном базисе контровариантные компоненты могут быть рассчитаны по «правилу скалярного произведения».

Таким образом мы, на основании сопоставлений соотношений (1.1) с (1.8) и (1.2) с (1.11) можем сделать вывод, что при переходе от прямого к взаимному базису контровариантные и ковариантные компоненты меняются ролями. Следовательно, вопрос «Каким из них отдать предпочтение?» лишен смысла. Математики решают эту проблему, вводя понятие о сопряженных векторных пространствах.

Определение. Векторные пространства арифметизированные системами координат, базисы которых взаимны по отношению друг к другу, называются сопряженными векторными пространствами.

6 Законы преобразования компонент вектора. (пару идейных фраз)

Переход к «новой»(штрихованной) системы координат К', полученной из «старой»(нештрихованной) системы координат К с помощью ОПСК, запишем в виде

(2.1)

Здесь элементы матрицы , описывающей ОПСК переводящие систему координат К в систему координат К'.

Обратный переход от системы К' к системе К запишем в виде

(2.2)

где элементы матрицы обратного преобразования.

Очевидно, что матрица является обратной для матрицы , то есть

(2.3)

где символ Кронекера.

Получим законы преобразования компонент вектора при прямом переходе от системы координат К к системе координат K’ и обратном переходе от системы координат К' к системе К, положив в основу рассуждений условие инвариантности Воспользовавшись (1.1) ,(2.2) и сформулированным выше требованием, имеем

Отсюда, учитывая линейную независимость базисных векторов , получаем

(2.4)

Аналогично, но используя (2.1),

,

находим, что

. (2.5)

Выражения (2.4) и (2.5) определяют законы преобразования контровариантных компонент вектора при прямом КК' и обратном К'К преобразованиях системы координат.

Получим законы преобразования ковариантных компонент вектора при аналогичных преобразованиях системы координат. Согласно (1.2), (2.1) и требования инвариантности можем записать

.

Следовательно, при прямом ортогональном преобразовании КК'

(2.6)

Нетрудно показать, что при обратном ортогональном преобразовании системы координат К’К закон преобразования ковариантных компонент вектора имеет вид