Временем ожидания в очереди.

Отличие такой СМО от СМО, рассмотренной в §9, состоит в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди, считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром v = 1/t_ож., где t_ож -среднее время ожидания заявки в очереди, а v - имеет смысл интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рис. 10.

Очереди нет

Очередь

λ

λ

Sn

λ

nμ+v

Sn+1

λ

…_ч______

nμ+2v nμ+mv

Sn+m

Рис.10

Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в §9. Сравнение графов на рис. 3 и 10 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

S0 → S₀; S_g → S_n+m; S_k → S_k, (k = 1, n); S_k → S_n+i; (k = n + 1,n + m). Л_к^-Я, (/c=0,n+m-1);

[л_к —»(лг+1)-//, (к=0,n-1); iu_K^>niu+(k-n + 1)v, (k=n,n+m-1)

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (3.2) и (3.3) с учётом (11.1). В результате получим:

p0 =

k! (

р _n+i=p_n-_i^Е--------, (i = 1,m)

l =1 (n+lp)

где β = ν/μ. Вероятность образования очереди р_оч определяется формулой

(11.5)

ⁱ=1 I I( n + l п)

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании р_отк равна

ротк р n+m pn

Y[(n + lJ3)

l=1

Относительная пропускная способность равна

Q=р обс. = 1-р отк. = 1-p n-

а абсолютная пропускная способность

А = λQ. (11.8)

Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (4.8) и равно:

L_оч =^ipn_+i =pn -^i ⁱ'^р-------------------------------. (11.9)

i=1

i⁼¹П(n+^)

l=1

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (4.7) и равно

nm

L_обс=Tjk'pk+Tjn'pn_+i (11.10)

k=1 i=1

Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания заявки, т.е.

смо обс ож ож.

(11.11)

Пример 12.В парикмахерской работают 3 мастера. За 1 час в парикмахерскую приходят в среднем 10 человек. Среднее время обслуживания клиента каждым мастером - 20 минут. Зал ожидания рассчитан на 4 места. Среднее время ожидания клиента в очереди t_ож -10 минут. Найти характеристики СМО.

Решение.Имеем: n = 3, m = 4, λ = 10 [час^-1], μ = 3 [час^-1], ρ = λ/μ =10/3, t_ож= (1/6)часа, v = 1/t_ож = 6 [час^-1], p = v//i = 2.

По формуле (11.2) находим р₀ - вероятность того, что все мастера свободны:

10/3 (10/3)² (10/3)³

+ + +

(3 + 1 •2)(3 + 2-2) (3 + 1 •2)(3 + 2 •2)(3 + 3-2)

+

(10/3)

(3 + 1 •2)(3 + 2 •2)(3 + 3 •2)(3 + 4-2)

«0,0433.

По формуле (11.3) находим вероятности занятости одного, 2-х и 3-х мастеров:

p ₁ «--------0,0433 «0,1444; p₂ « — — •0,0433 «0,2407;

1! 3 2! ^3 '

р =p & — \—-0,433^0,2674; 3! V3

По формуле (11.4) находим вероятности того, что в очереди 1, 2, 3, 4 человека:

0,1783 ;

74 (10 /3)³

р ₊₂ = 026 ■---------------------------«0,0849 ;

⁷⁴ (ю/3)³

р ⁺³ «0,26 ■------------1-------- '—-------------- «0,0314 ;

(3 +1 •2)(3 + 2 •2)(3 + 3-2)

(10/3)³

^р 4 «0,2674 •^^ ~0,0095 ; (3 +1 •2)(3 + 2 •2)(3 + 3 •2)(3 + 4-2)

Вероятность отказа в обслуживании равна

ротк = р _m+4 ≈ 0,0095.

Относительная пропускная способность

Q = 1-р _отк ≈ 0,9905, а абсолютная пропускная способность равна

A = λQ ≈ 9,9[час^-1], т.е. примерно 10 человек в час, что практически равно интенсивности потока посетителей.

Среднее число клиентов в очереди найдём по формуле (11.9):

L_m= 1 •0,1783 + 2 •0,0849 + 3 •0,0314 + 4 •0,095 «0,82,

т.е. менее одного человека. Среднее время пребывания посетителя в парикмахерской найдём по формуле (11.11):

Q 0,9905

t_cмo =^+ t_ox я------------мин + 10 мин х30мин.

§12. n- канальная СМО замкнутого типа с m источниками заявок.

Примером такой СМО может служить завод, имеющий m станков и n слесарей– наладчиков. Требующий наладки станок либо сразу же обслуживается, если свободен хотя бы один из слесарей, либо ожидает наладки в очереди, если все слесари заняты. При этом предполагается, что m > n.

Таким образом, максимальная длина очереди равна (m-n). Интенсивность обслуживания источников заявок μ = 1/t_обс, где t_обс - среднее время обслуживания объекта (источника заявок). Интенсивность потока требований каждого источника заявок равна λ= 1/t_раб, где t_раб - среднее время безотказной работы каждого объекта. Если под обслуживанием находятся k объектов, то интенсивность потока заявок в СМО будет равна (m - k)λ. Граф такой СМО представлен на рис.11.

S0

mλ

μ

S1

(m-1)λ

-4-

S₂

(m-2)λ (m-n+1)λ

*… ~ *S_n

μ

(m-n)λ

μ

Sn+1

(m-n)λ (m-n)λ

^____S n+(m-n)

μ\-------------------

Рис.11

Поскольку очередь ограничена, то финальные вероятности такой системы всегда существуют. Сравнивая граф на рис.11 с графом системы рождения и гибели на рис.3 легко увидеть, что граф на рис.11 получается из графа на рис.3 в результате следующих замен (слева находятся обозначения системы рождения и гибели):

Sg → Sn+(m-n); Sk → Sk, (k = 0,m-1);

\^( m-k)Я, (k = 0,n-1); \^(m-n)Я, ( k = n,m)

ju_k^ju, (k = 0,m-1)

С учётом (12.1) формулы для финальных вероятностей (4.2) и (4.3) запишутся в виде

p ₀ =}_{1+mр+m(m-1)р2 +...+m ( m-1)..[m-(n-1)] _n +m-(m-1)..[m-(n-1)]-(m-n) _{n +}1 ■ [()]

p_k=m ( m- 1 ) ... m-n- 1 )]р^кр₀ , ( = 1,n )

i i (i = 1,m-n)

Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все n каналов заняты, т.е. когда в СМО будет находиться либо n, либо (n + 1),…, либо (n + m - 1) заявок. В силу несовместности этих событий вероятность образования очереди р_оч будет равна сумме соответствующих вероятностей р_n, p_n+1, …, p_{n+m -1}:

роч = ^{m n 1}upn₊i=pn- ~}_-^Р\----------------( m-n )-Р. (12.5)

_i=1 1( m n ) Р