Многоканальная СМО с ограниченной очередью и ограниченным

А.

A.

А.

А.

А.

А.

Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Граф такой СМО (рис.9) получается из графа на рис.8 при m → ∞

S0

м

S1

2ju

3/л

… n

S_n

n

Sn+1

nр.

Формулы для финальных вероятностей можно получить из формул для n-канальной СМО с ограниченной очередью при m → ∞ . При этом следует иметь в виду, что при p/n≥1 вероятность р₀ = р1=…= p _n = 0, т.е. очередь неограниченно возрастает. Следовательно, этот случай практического интереса не представляет и ниже рассматривается лишь случай p/n < 1. При m → ∞ из (9.2) получим

-1

ρ 2 +...+ ρ n-

2! '" (n-1) (n-1)! n-ρ

Формулы для остальных вероятностей имеют тот же вид, что и для СМО с ограниченной очередью:

рk =

^ρ p₀, (k = 1,n);p_n+i = ρ—p₀, (i = 1, 2…).

(10.2)

Из (9.4) получим выражение для вероятности образования очереди заявок:

n

⋅p0.

------------ 0 (10.3)

_{n ! n - ρ}

Поскольку очередь не ограничена, то вероятность отказа в обслуживании заявки р_отк

равна нулю

р _отк = 0, (10.4)

а относительная пропускная способность Q равна единице:

Q = р _обс = 1 - ротк = 1. (10.5)

Абсолютная пропускная способность А равна

A = X·Q = X. (10.6)

Из формулы (9.8) при m → ∞ получим выражение для среднего числа заявок в очереди:

(10.7)

n ! (n - ρ)² Среднее число обслуживаемых заявок L_обс определяется формулой

L_о6c=ρ. (10.8)

Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (4.9) и (4.10).

Пример 11.Интенсивность потока посетителей столовой составляет 150 человек в час. Имеется 3 кассира, каждый из которых обслуживает в среднем 1 посетителя за минуту. Найти характеристики СМО.

Решение.Имеем: n = 3, X = 150 час-¹ = 2,5 мин-¹, /л = 1мин^-1, р = X/ju = 2,5. Вероятность отсутствия посетителей в столовой находим по формуле (10.1):

ро =

2,5 (2,5)² (2,5)³ 1

1! 2! 2! 3-

-1

≈ 0,0555,

т.е. работники столовой практически всё время заняты. Вероятность образования очереди

•0,0555 «0,87.

3! 3 - 0,5

Среднее число посетителей в очереди

•0,0555 «4,35 человека,

3! (3-2,5)² а среднее число обслуживаемых посетителей

L_обс «2,5 человек .

Среднее число посетителей (обслуживаемых и в очереди) равно

L _смо = L_оч + L_обс ≈ 6,35 человек, т.е. чуть больше одного посетителя на каждого кассира, что оптимально. Среднее время, затрачиваемое посетителем на получение обеда, находим по формуле (4.9):

t _с = L _оч Q (4,35 1

что совсем немного. Можно сделать вывод, что работа столовой организована эффективно.